Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=3，CF=1，P是斜邊AC上的一個動點，則△PEF周長的最小值為________．

Answer 1

+2
分析：由于△PEF的周長=EF+PF+PE，而EF為定值，所以當(dāng)PF+PE取最小值時，△PEF的周長最�。疄榇�，作點B關(guān)于AC的對稱點D，連接AD，CD，取AD的中點E′，連接E′F，與AC交于點P，此時PF+PE=E′F，值最小，然后在Rt△E′FG中利用勾股定理求解即可．
解答：解：如圖，作點B關(guān)于AC的對稱點D，連接AD，CD，則AC垂直平分BD，
又∵AB=BC，
∴BD平分AC，且AC=BD，
∴四邊形ABCD是正方形．
取AD的中點E′，連接E′F，與AC交于點P．
∵E，E′關(guān)于AC對稱，
∴PE=PE′，
此時PF+PE=PF+PE′=E′F，值最�。�
過點F作FG⊥AD于G．
在Rt△E′FG中，∠E′GF=90°，F(xiàn)G=AB=6，GE′=3-1=2，
∴E′F===2，
∵EF===，
∴△PEF周長的最小值=EF+E'F=+2．
故答案為+2．
點評：本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強，有一定難度，準(zhǔn)確作出輔助線，確定P點的位置是解題的關(guān)鍵．