Question

如圖1，平面直角坐標系中，⊙O₁與x軸相切于點A，與y軸相交于點B、C兩點，連接AB、O₁B．
（1）求證：∠ABO₁=∠ABO；
（2）若點O₁的坐標為（-

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，-2），直接寫出點B、C的坐標
（3）如圖2，在（2）的條件下，過A、B兩點作⊙O₂與y軸的正半軸交于點M，與O₁B的延長線交于點N，當⊙O₂的大小變化時，給出下列兩個結論：①BM-BN的值不變；②BM+BN的值不變；其中有且只有一個結論是正確的，請你判斷哪一個結論正確，證明正確的結論并求出其值．

Answer 1

分析：（1）連接O₁A，由圓O₁與x軸切于A，根據(jù)切線的性質得到O₁A垂直于OA，由OB與AO垂直，根據(jù)平面內垂直于同一條直線的兩直線平行，得到O₁A與OB平行，根據(jù)兩直線平行內錯角相等，得到一對內錯角相等，再由O₁A=O₁B，根據(jù)等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出∠ABO₁=∠ABO，得證；
（2）作O₁E⊥BC于點E，根據(jù)垂徑定理得到E為BC的中點，由點O₁的坐標為（-

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，-2），可求得OE=O₁B=O₁A=2，O₁E=OA=

3

，然后由勾股定理求得BE的長，繼而求得OB與OC的長，則可求得點B、C的坐標；
（3）兩個結論中，①BM-BN的值不變正確，理由為：在MB上取一點G，使MG=BN，連接AM、AN、AG、MN，由∠ABO₁為四邊形ABMN的外角，根據(jù)圓內接四邊形的外角等于它的內對角，可得出∠ABO₁=∠NMA，再由∠ABO₁=∠ABO，等量代換可得出∠ABO=∠NMA，然后利用同弧所對的圓周角相等可得出∠ABO=∠ANM，等量代換可得出∠NMA=∠ANM，根據(jù)等角對等邊可得出AM=AN，再由同弧所對的圓周角相等，及OM=BN，利用SAS可得出三角形AMG與三角形ABN全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得出AG=AB，由AO與BG垂直，根據(jù)三線合一得到O為BG的中點，根據(jù)OB的長求出BG的長，然后BM-BN=BM-MG=BG，由BG為常數(shù)得到BM-BN的長不變，得證．

解答：解：（1）連接O₁A，則O₁A⊥OA，
又∵OB⊥OA，
∴O₁A∥OB，
∴∠O₁AB=∠ABO，
又∵O₁A=O₁B，
∴∠O₁AB=∠O₁BA，
∴∠ABO₁=∠ABO；

（2）過點作O₁E⊥BC于點E，
∴BE=CE，
∵點O₁的坐標為（-

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，-2），
∴OE=O₁B=O₁A=2，O₁E=OA=

3

，
∴在Rt△BO₁E中，BE=

O1B2-O1E2

=1，
∴OB=OE-BE=2-1=1，OC=OE+CE=2+1=3，
∴點B的坐標為：（0，-1），點C的坐標為：（0，-3）；

（3）①正確．
理由為：在MB上取一點G，使MG=BN，連接AM、AN、AG、MN，
∵∠ABO₁為四邊形ABMN的外角，
∴∠ABO₁=∠NMA，
又∵∠ABO₁=∠ABO，
∴∠ABO=∠NMA，
又∵∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∵∠AMG和∠ANB都為

AB

所對的圓周角，
∴∠AMG=∠ANB，
∵在△AMG和△ANB中，

AM=AN ∠AMG=∠ANB MG=BN

，
∴△AMG≌△ANB（SAS），
∴AG=AB，
∵AO⊥BG，
∴BG=2BO=2，
∴BM-BN=BM-MG=BG=2其值不變．

點評：此題考查了切線的性質，坐標與圖形性質，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，以及全等三角形的判定與性質．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．