【題目】如圖1,在ABCD中,E、F兩點(diǎn)分別從A、D兩點(diǎn)出發(fā),以相同的速度在AD、DC邊上勻速運(yùn)動(dòng)(E、F兩點(diǎn)不與ABCD的頂點(diǎn)重合),連結(jié)BE、BF、EF.

(1)如圖2,當(dāng)ABCD是矩形,AB=6,AD=8,BEF=90°時(shí),求AE的長(zhǎng).

(2)如圖2,當(dāng)ABCD是菱形,且DAB=60°時(shí),試判斷BEF的形狀,并說(shuō)明理由;

(3)如圖3,在第(2)題的條件下,設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,AE的長(zhǎng)為x,試求BEF面積y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最小值.

【答案】(1)2;(2)等邊三角形;(3)

【解析】

試題分析:(1)依據(jù)矩形的性質(zhì)可知D=A=90°,接下來(lái),依據(jù)同角的余角相等可得到DFE=AEB,然后依據(jù)ASAS證明DEF≌△ABE,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到DE=6,從而可求得AE的長(zhǎng);

(2)連結(jié)BD.首先證明ADB為等邊三角形,于是得到BD=BC,然后再證明BED≌△BFC,AEB≌△DFB,由全等三角形的性質(zhì)得到BE=BF,ABE=DBF,接下來(lái)證明EBF=60°,從而可判定EBF為等邊三角形.

(3)過點(diǎn)E作EMAB,ENDC,垂足為M、N,過點(diǎn)B作BGDC,垂足為G.首先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得EM=x,NE=(a﹣x),BG=a,然后依據(jù)EFB的面積=菱形的面積﹣AEB的面積﹣DFE的面積﹣FCB的面積列出y與x的函數(shù)關(guān)系式,最后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

試題解析:(1)如圖1所示:

四邊形ABCD為矩形,

∴∠D=A=90°.

∵∠BEF=90°,

∴∠DEF+AEB=90°.

∵∠DEF+DFE=90°,

∴∠DFE=AEB.

DEF和ABE中,

∴△DEF≌△ABE.

AB=DE=6.

AE=AD﹣DE=8﹣6=2.

(2)如圖2所示:連結(jié)BD.

四邊形ABCD為菱形,A=60°,

AD=AB=DC=BC,EDB=60°.

∵∠A=60°,AD=AB,

∴△ADB為等邊三角形.

AD=AB=BD.

DB=BC.

AD=DC,AE=DF,

DE=FC.

BED和BFC中,,

∴△BED≌△BFC.

BE=BF.

AEB和DFB中,

∴△AEB≌△DFB.

∴∠ABE=DBF.

∴∠EBF=EBD+DBF=ABE+EBD=60°.

∴△EBF為等邊三角形.

(3)如圖3所示:過點(diǎn)E作EMAB,ENDC,垂足為M、N,過點(diǎn)B作BGDC,垂足為G.

AE=DF=x,

DE=FC=a﹣x.

∵∠A=NDE=C=60°,

EM=x,NE=(a﹣x),BG=a.

∵△EFB的面積=菱形的面積﹣AEB的面積﹣DFE的面積﹣FCB的面積,

y=a·a﹣a·x﹣·x·(a﹣x)﹣·(a﹣x)·a.

y=x2ax+a2

當(dāng)x=時(shí),y取得最小值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】計(jì)算:
(1)( 1+(π﹣3)0+(﹣2)2+|(﹣2)3|
(2)(9x3y﹣12xy3+3xy2)÷(﹣3xy)﹣(2y+x)(2y﹣x),其中x=1,y=﹣2.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列線段中,能成比例的是( 。

A. 3cm、6cm、8cm、9cmB. 3cm、5cm、6cm、9cm

C. 3cm、6cm、7cm9cmD. 3cm、6cm9cm、18cm

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列說(shuō)法正確的是( )

A. 過原點(diǎn)的直線都是正比例函數(shù) B. 正比例函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)

C. y=kx是正比例函數(shù) D. y=3+x是正比例函數(shù)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是3,且到x軸的距離為5,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是______________;

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】ABCD中,AB=6,AD=8,∠B是銳角,將△ACD沿對(duì)角線AC所在直線折疊,點(diǎn)D落在△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)E處.如果AE恰好經(jīng)過BC的中點(diǎn),那么ABCD的面積是________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某運(yùn)動(dòng)品牌店對(duì)第一季度A、B兩款運(yùn)動(dòng)鞋的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì).兩款運(yùn)動(dòng)鞋的銷售量及總銷售額如圖所示:

(1)一月份B款運(yùn)動(dòng)鞋的銷售量是A款的,則一月份B款運(yùn)動(dòng)鞋銷售了多少雙?

(2)第一季度這兩款運(yùn)動(dòng)鞋的銷售單價(jià)保持不變,求三月份的總銷售額(銷售額=銷售單價(jià)×銷售量);

(3)綜合第一季度的銷售情況,請(qǐng)你對(duì)這兩款運(yùn)動(dòng)鞋的進(jìn)貨、銷售等方面提出一條建議.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為弘揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化,某校舉辦了“古詩(shī)文大賽”,并為獲獎(jiǎng)同學(xué)購(gòu)買簽字筆和筆記本作為獎(jiǎng)品.1支簽字筆和2個(gè)筆記本共8.5元,2支簽字筆和3個(gè)筆記本共13.5元.
(1)求簽字筆和筆記本的單價(jià)分別是多少元?
(2)為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,學(xué)校決定給每名獲獎(jiǎng)同學(xué)再購(gòu)買一本文學(xué)類且定價(jià)為15元的圖書,書店出臺(tái)如下促銷方案:購(gòu)買圖書總數(shù)超過50本可以享受8折優(yōu)惠,學(xué)校如果多買12本,則可以享受優(yōu)惠且所花錢數(shù)與原來(lái)相同,問學(xué)校獲獎(jiǎng)的同學(xué)有多少人?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】點(diǎn)(-3,2),(a,a+1)在函數(shù)y=kx-1的圖象上,則k= ,a=

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案