Question

14．閱讀下列材料：
我們定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如正方形就是和諧四邊形．結(jié)合閱讀材料，完成下列問題：

（1）下列哪個四邊形一定是和諧四邊形C．
A．平行四邊形    B．矩形     C．菱形     D．等腰梯形
（2）命題：“和諧四邊形一定是軸對稱圖形”是假 命題（填“真”或“假”）．
（3）如圖，等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°．若點C為平面上一點，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，請求出∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由和諧四邊形的定義，即可得到菱形是和諧四邊形；
（2）和諧四邊形不一定是軸對稱圖形，舉出反例即可；
（3）首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖1，圖2，圖3三種情況運用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)，即可求出∠ABC的度數(shù)．

解答 解：（1）∵菱形的四條邊相等，
∴連接對角線能得到兩個等腰三角形，
∴菱形是和諧四邊形；
故選C；

（2）和諧四邊形不一定是軸對稱圖形，如圖所示：

∠C=45°，直角梯形ABCD是和諧四邊形，但不是軸對稱圖形，
故答案為：假；

（3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，
∴△ACD是等腰三角形，
∵在等腰Rt△ABD中，AB=AD，
∴AB=AD=BC，
①如圖1，當AD=AC時，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°；
②如圖2，當DA=DC時，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°； 
③如圖3，當CA=CD時，過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD，CE⊥AD，
∴AE=ED，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四邊形ABFE是矩形，
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BCF=15°，
∴∠ABC=150°．

點評 此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，此題難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．