Question

已知，如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，連接BE、CE，∠ABD+

1

2

∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列結(jié)論：①△ABD為等腰三角形；②AE=AC；③BE=CE=CD；④CB平分∠ACE．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：可根據(jù)證△ABF≌△△ADF推出AB=AD，得出△ABD為等腰三角形；可根據(jù)同弦所對(duì)的圓周角相等點(diǎn)A、B、C、E共圓，可判出BE=CE=CD，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，可判出AE=AC；求出∠7=90°-

3

2

∠2，根據(jù)∠1=∠4=∠2推出∠4≠∠7，即可得出BC不是∠ACE的平分線．

解答：解：作AF平分∠BAD，
∵∠BAD=∠3，∠ABD+

1

2

∠3=90°，
∴∠BAF=

1

2

∠3=∠DAF，
∴∠ABF+∠BAF=90°
∴∠AFB=∠AFD=90°，
在△BAF和△DAF中

∠BAF=∠DAF AF=AF ∠AFB=∠AFD

∴△ABF≌△△ADF（ASA），
∴AB=AD，∴①正確；
∵∠BAD=∠2=∠3，
∴點(diǎn)A、B、E、C在同一個(gè)圓上，
∴∠BAE=∠4=∠3，∠，ABC=∠6，
∴BE=CE，
∵∠5=∠ADB=∠ABD，∠BAE=∠4，
∴∠5=∠6，
∴CE=CD，
即CD=CE=BE，∴③正確；
∵∠6+∠2+∠ACE=180°，∠6=∠5=∠ADB=∠ABD=90°-

1

2

∠2．
∴∠ACE=180°-∠6-∠2=90°-

1

2

∠2，
∴∠ACE=∠6，
∴AE=CE，∴②正確
∵∠5=∠2+∠7=90°-

1

2

∠2，
∴∠7=90°-

3

2

∠2，
∵∠BAD=∠4=∠2，
∴∠4≠∠7，∴④錯(cuò)誤；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，有一定的難度．