Question

如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE，AB相交于點G，若∠BAC=30⁰，下列結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA.其中正確結(jié)論的序號是（ ▲ ）

A. ②④    B. ①③   C. ①③④   D. ①②③④                                                                              

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】∵ACE是等邊三角形∴∠EAC=60°，AE=AC ∵∠BAC=30°

∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC ∵F為AB的中點 ∴AB=2AF ∴BC=AF

∴△ABC≌△EFA  ∴∠AEF=∠BAC=30° ∴EF⊥AC.故①是正確的；

∵△ABC≌△EFA ∴EF=AB ∵AB=AD ∴AD=EF 同理可證AE=DF

 ∴ADFE是平行四邊形∵F為AB的中點∴△AFD是直角三角形，AD≠DF.

因此四邊形ADFE不是菱形.故②不正確；

∵ADFE是平行四邊形∴AG=AF=AB∵AD=AB∴AD=4AG.故③是正確的；

∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，

∴∠DFB=∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，

∴△DBF≌△EFA（AAS）．故④是正確的.故選C．