Question

閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC，探究PG與PC的位置關(guān)系
小穎同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決．
請(qǐng)你參考小穎同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)你寫(xiě)出上面問(wèn)題中線段PG與PC的位置關(guān)系；
（2）將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問(wèn)題申的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明，

Answer 1

解：（1）線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC．
理由：延長(zhǎng)GP，交CD于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD與四邊形BEFG是菱形，
∴CD∥AB∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，
∵P是線段DF的中點(diǎn)，
∴DP=PF，
在△DPH和△FGP中，
，
∴△DPH≌△FGP（AAS），
∴PH=PG，DH=GF，
∵CD=BC，GF=GB=DH，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，
即PG⊥PC；

（2）猜想：（1）中的結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化．
證明：如圖，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG，
∵P是線段DF的中點(diǎn)，
∴FP=DP，
∵AD∥FG，
∴∠GFP=∠HDP．
又∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP
∴GP=HP，GF=HD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°．
由∠ABC=∠BEF=60°，且菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，
∴∠GBC=60°．
∴∠HDC=∠GBC．
∵四邊形BEFG是菱形，
∴GF=GB．
∵△HDC≌△GBC．
∴CH=CG．
∴PH=PG，PG⊥PC．
分析：（1）根據(jù)題意可知小穎的思路為，通過(guò)判定三角形DHP和PGF為全等三角形來(lái)得出證明三角形HCG為等腰三角形且P為底邊中點(diǎn)的條件；
（2）思路同上，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG，本題中除了如（1）中證明△GFP≌△HDP（得到P是HG中點(diǎn)）外還需證明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．