Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，AC為對角線，點O為對角線AC的中點.

(1)如圖1，若AB⊥AC，AH平分∠BAC交BC于點H，連接EO，OE＝2，CD＝3，求AH的長；

(2)如圖2，若AE＝EC，過C作CD的垂線交AE于點F，連接BF并延長交AD于點G，連接GO并延長GO交BC于點P，求證：DG＝2EP.

Answer 1

【答案】(1)AH=；(2)證明見解析.

【解析】

(1)如圖1中，作HM⊥AB于M，HN⊥AC于N.利用面積法求出HN，再證明△AHN是等腰直角三角形即可解決問題.

(2)如圖2中，延長CF交AB于H.證明△AEB≌△CEF(ASA)，推出BE＝EF，證明△AOG≌△COP(ASA)，推出AG＝PC，再證明AG＝AF＝PC 推出EF＝PE＝BE即可解決問題.

(1)解：如圖1中，作HM⊥AB于M，HN⊥AC于N.

∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝90°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD＝3，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝90°，

∵OA＝OC，OE＝2，

∴AC＝2OE＝4，

∵AH平分∠BAC， HM⊥AB，HN⊥AC，

∴HM＝HN.

∵S△ABC＝ABAC＝ABHM+ACHN，

∴HM＝HN＝，

∵∠HAN＝45°，∠ANH＝90°，

∴AH＝HN＝.

(2)證明：如圖2中，延長CF交AB于H.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∵CF⊥CD，

∴CH⊥AB，

∴∠AHF＝∠CEF＝90°，∵∠AFH＝∠CFE，

∴∠BAE＝∠ECF，

∵∠AEB＝∠CEF，AE＝EC，

∴△AEB≌△CEF(ASA)，

∴BE＝EF，

∵AG∥PC，

∴∠OAG＝∠OCP.

∵OA＝OC，∠AOG＝∠COP，

∴△AOG≌△COP(ASA)，

∴AG＝PC，

∵AD＝BC，

∴DG＝PB，

∵BE＝EF，∠BEF＝90°，

∴∠BEF＝∠EFB＝∠AFG＝∠AGF＝45°，

∴AG＝AF，

∴AF＝PC，

∵AE＝EC，

∴EF＝PE＝BE，

∴DG＝2PE.