解:(1)拋物線解析式y(tǒng)=ax
2+bx+3經(jīng)過(guò)A(-3,0),B(-1,0)兩點(diǎn),
∴
,
解得
,
∴拋物線的解析式為y=x
2+4x+3.
(2)由(1)配方得y=(x+2)
2-1,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(-2,-1),
∴直線OD的解析式為y=
x,
于是可設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,
h),
∴平移后的拋物線的解析式為y=(x-h)
2+
h,
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),∵C(0,9),
∴h
2+
h=9.
解得h=
,
∴當(dāng)
≤h<
時(shí),平移后的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)拋物線與直線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),
由方程組
,
得x
2+(-2h+2)x+h
2+
h-9=0,
∴△=(-2h+2)
2-4(h
2+
h-9)=0,
解得h=4,
此時(shí)拋物線y=(x-4)
2+2與直線CD唯一的公共點(diǎn)為(3,3),點(diǎn)(3,3)在射線CD上,符合題意.
∴平移后拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是
或h=4.
(3)平移后,當(dāng)E(-1,0)、F(5,0)時(shí),拋物線的解析式為:
y=(x+1)(x-5),即y=x
2-4x-5.
當(dāng)x=0時(shí),y=-5.
∴N(0,-5).
∴OF=ON=5,
假設(shè)存在點(diǎn)G,使△GFN中FN邊上的高為7
,
∴G點(diǎn)應(yīng)在與直線FN平行,且相距7
的兩條平行線l
1(如圖所示)和l
2(在直線FN下方且平行于直線FN)上.
由平行的性質(zhì)可以知道l1和l2與y軸的交點(diǎn)到直線FN的距離也為7
,如圖,設(shè)l1與y軸交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥FN,垂足為Q,
∵OF=ON,
∴∠ONF=OFN=45°.
在Rt△PQN中,PQ=7
,∠PNQ=∠ONF=45°,
由勾股定理,得PN=
PQ=14.
∴直線l1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(0,9).
同理可得:直線l2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為R(0,-19).
∵OF=ON=5,
∴F(5,0),N(0,-5),
∴容易求得直線FN的解析式為:y=x-5.
∴直線l
1、l
2的解析式分別為l
1:y=x+9;l
2:y=x-19.
根據(jù)題意,列方程組:①
,
,
由①,得x
2-5x-14=0,解得x
1=7,x
2=-2
∴
,
.
∴G
1(7,16),G
2(-2,7).
由②,得x
2-5x+14=0.
∵△=(-5)2-4×1×14<0,此方程無(wú)實(shí)數(shù)根.
∴在拋物線上存在點(diǎn)G,使△GFN中FN邊上的高為7
.點(diǎn)G的坐標(biāo)為:
G
1(7,16),G
2(-2,7).
分析:(1)直接用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式;
(2)由(1)的解析式求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出直線OD的解析式,設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,
h),就可以表示出平移后的解析式,當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)就可以求出h值,拋物線與直線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)可以得出
,得x
2+(-2h+2)x+h
2+
h-9=0,從而得出△=(-2h+2)
2-4(h
2+
h-9)=0求出h=4,從而得出結(jié)論;
(3)根據(jù)條件平移后求出拋物線的解析,求出直線FN的解析式,從而求出l
1,l
2的解析式,利用直線的解析式與拋物線的解析式構(gòu)建方程組就可以求出其交點(diǎn)坐標(biāo)就實(shí)G點(diǎn)的坐標(biāo).
點(diǎn)評(píng):本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式,二次函數(shù)圖象與幾何變換,勾股定理的運(yùn)用及方程組與交點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)用.