Question

如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)？

（2）設(shè)△PQB的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值，并求出最大值；

（3）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

 解：（1）作CE⊥AB于E，

∵DC∥AB，DA⊥AB，

∴四邊形AFVE是矩形，

∴AE=DE=5，CE=AD=4，

∴BE=3，

∴BC=，

∴BC＜AB，

∴P到C時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，

∴t=（秒），

即t=5秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（2）由題意知，AQ=BP=t，

∴QB=8﹣t，

作PF⊥QB于F，則△BPF～△BCE，

∴，即，

∴BF=，

∴S=QB•PF=×（8﹣t）==﹣（t﹣4）²+（0＜t≤5），

∵﹣＜0，

∴S有最大值，當(dāng)t=4時(shí)，S的最大值是；

（3）∵cos∠B=，

∴BF=t•cos∠B=，

∴QF=AB﹣AQ﹣BF=8﹣，

∴QP===4

①當(dāng)PQ=PB時(shí)，即QP═4，解得t=（舍去負(fù)值）

∵t=＞5，不合題意，

②當(dāng)PQ=BQ時(shí)，即4=8﹣t，

解得：t₁=0（舍去），t₂=，

③當(dāng)QB=BP，即8﹣t=t，

解得：t=4．

綜上所述：當(dāng)t=秒或t=4秒時(shí)，△PQB為等腰三角形．