Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D、E、F分別是AC、AB、BC的中點．點P從點D出發(fā)沿折線DE-EF-FC-CD以每秒7個單位長的速度勻速運動；點Q從點B出發(fā)沿BA方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點A時停止，點P也隨之停止．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）D、F兩點間的距離等于______；
（2）以點D為圓心，DC長為半徑作圓交DE于M，能否在弧CM上找一點N，使直線QN切⊙D于N，且四邊形CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值．若不能，說明理由；
（3）作射線QK⊥AB，交折線BC-CA于點G，當(dāng)t為何值時，點P恰好落在射線QK上；
（4）連接PG，當(dāng)PG∥AB時，直接寫出t的值．

Answer 1

解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，
∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點，
∴DE∥BC，EF∥AC，∴DF=AB=25

（2）能．
如圖1，連接DF，過點F作FH⊥AB于點H，
∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點，
∴DE∥BC，EF∥AC，四邊形CDEF為矩形，
∴QK過DF的中點O時，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分
（注：可利用全等三角形借助割補法或用中心對稱等方法說明），
此時QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．
故t=．

（3）①當(dāng)點P在EF上（2≤t≤5）時，
如圖2，QB=4t，DE+EP=7t，
由△PQE∽△BCA，得．
∴t=4；
②當(dāng)點P在FC上（5≤t≤7）時，
如圖3，已知QB=4t，從而PB=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．
解得t=7；

（4）如圖4，t=1；如圖5，t=7．
（注：判斷PG∥AB可分為以下幾種情形：
當(dāng)0＜t≤2時，點P下行，點G上行，可知其中存在PG∥AB的時刻，
如圖4；此后，點G繼續(xù)上行到點F時，t=4，而點P卻在下行到點E再沿EF上行，發(fā)現(xiàn)點P在EF上運動時不存在PG∥AB；
當(dāng)5≤t≤7時，點P，G均在FC上，也不存在，
PG∥AB；由于點P比點G先到達(dá)點C并繼續(xù)沿CD下行，所以在7＜t＜8中存在PG∥AB的時刻，
如圖5，當(dāng)8≤t≤10時，點P，G均在CD上，不存在PG∥AB）．
分析：（1）由中位線定理即可求出DF的長；
（2）連接DF，過點F作FH⊥AB于點H，由四邊形CDEF為矩形，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，根據(jù)△HBF∽△CBA，對應(yīng)邊的比相等，就可以求得t的值；
（3）①當(dāng)點P在EF上（2≤t≤5時根據(jù)△PQE∽△BCA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，可以求出t的值；
②當(dāng)點P在FC上（5≤t≤7）時，PB+PF=BF就可以得到；
（4）當(dāng)PG∥AB時四邊形PHQG是矩形，由此可以直接寫出t．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，運用了相似三角形性質(zhì)，對應(yīng)邊的比相等，正確找出題目中的相似三角形是解題的關(guān)鍵．