Question

已知：如圖，AB是半圓O的直徑，D是AB延長線上的一點，AE⊥DC，交DC的延長線于點E，交半圓O于點F，且C為的中點．
（1）求證：DE是半圓O的切線；
（2）請說明∠EAC=∠BCD的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BF，OC，根據(jù)C是的中點可以得到OC⊥BF，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可以得到BF⊥AE，則BF∥CE，因而可以證得OC⊥DE，從而證得DE是半圓O的切線；
（2）根據(jù)AB是半圓O的直徑，∠ACB=90°，則∠ACE+∠BCD=90°，在直角△ACE中，∠ACE+∠EAC=90°，即可得到∠EAC=∠BCD．
解答：證明：（1）連接BF，OC．
∵C為的中點，
∴OC⊥BF，
又∵AB是半圓O的直徑，
∴BF⊥AE，
∴BF∥CE，
∴OC⊥DE，
∴DE是半圓O的切線；

（2）∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°，
又∵直角△ACE中，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠EAC=∠BCD．
點評：本題考查了圓周角定理，以及切線的判定，判定切線的問題常用的方法是轉化成證明垂直問題．