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  1. 如圖1,菱形ABOC的對(duì)角線(xiàn)OA、BC交于點(diǎn)D,∠BOC=60°,,E為AC邊中點(diǎn),BE與OA交于點(diǎn)F,點(diǎn)P從點(diǎn)O(包含頂點(diǎn)O)開(kāi)始沿OA方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C(包含頂點(diǎn)C)出發(fā)沿CB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí),P,Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.
    (1)若記以P、B、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形面積為S,分別求出點(diǎn)P在線(xiàn)段OD(不含點(diǎn)D)和在線(xiàn)段AF(不含點(diǎn)F)上時(shí),S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出相應(yīng)的自變量x的取值范圍.
    (2)若以P、B、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形,求x的值.
    (3)如圖2,若點(diǎn)M、N分別在菱形的邊OC、AC上,且∠MBN=60°,∠MBN在∠OBA內(nèi)部繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,請(qǐng)你探究OM+AN的值是否發(fā)生變化?若不變,求出其值;若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    【答案】分析:(1)根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒,以及P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度,即可得出x的取值范圍,再利用P點(diǎn)位置的不同,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式;
    (2)根據(jù)當(dāng)PQ∥BE時(shí),以及當(dāng)EQ∥BP時(shí),當(dāng)PE∥BQ時(shí),分別利用相似三角形的性質(zhì)求出即可;
    (3)由∠BOC=60°,ABOC是菱形得,△BOC和△ABC是等邊三角形,進(jìn)而求出△OBM≌△CBN,得出答案即可.
    解答:解:(1)當(dāng)點(diǎn)P在OD上時(shí),如圖1,x的取值范圍為:,
    過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC,則,,
    ,∠BOC=60°,
    四邊形OBAC是菱形得AC=BC=2,OD=,∠ACD=60°,
    在Rt△ECH中,sin∠ECH=,
    ,
    ∴EH=
    從而有:
     =,
    當(dāng)點(diǎn)P在AF上時(shí),如圖2,x的取值范圍為,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD,
    則S=S△ABC-S△QEC-S△EPA-S△BPA,
    在Rt△EAG中,sin∠EAG=
    ∴sin30°=,從而有EG=
    ,
    =,
    綜上,;

    (2)能成為梯形,分三種情況:
    當(dāng)PQ∥BE時(shí),如圖3,∵菱形ABOC的對(duì)角線(xiàn)OA、BC交于點(diǎn)D,∠BOC=60°,
    ∴△OBC與△ABC都是等邊三角形,
    ∵E為AC邊中點(diǎn),
    ∴BE平分∠ABC,
    ∴∠DBE=30°,
    ∵PQ∥BE,
    ∴∠PQD=∠DBE=30°,
    ,
    ,

    此時(shí)PB不平行QE,∴時(shí),四邊形PBEQ為梯形.
    當(dāng)PE∥BQ時(shí),如圖4,P為DA中點(diǎn),∴OP=,
    ,
    ,
    此時(shí),BQ=,
    時(shí),四邊形PEQB為梯形.
    當(dāng)EQ∥BP時(shí),如圖5,△QEH∽△BPD,
    ,
    ,
    ∴x=1或x=0,
    此時(shí),BQ不平行于PE,∴x=1或x=0時(shí),四邊形PEQB為梯形.
    綜上所述,當(dāng)或1或0時(shí),以P,B,E,Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形.

    (3)OM+AN的值不會(huì)發(fā)生變化,理由如下:連接BC,
    如圖6,由∠BOC=60°,ABOC是菱形得,
    △BOC和△ABC是等邊三角形,
    ∴BC=BO,∠OBC=60°,∠BOM=∠BCN=60°,
    又∵∠MBN=60°,∴∠OBM=∠CBN,
    ∴△OBM≌△CBN,
    ∴OM=CN
    ∴OM+AN=CN+AN=AC=2.
    點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)與相似三角形以及梯形的綜合應(yīng)用,根據(jù)當(dāng)PQ∥BE時(shí),以及當(dāng)EQ∥BP時(shí),當(dāng)PE∥BQ進(jìn)行分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵.
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    如圖1,菱形ABOC的對(duì)角線(xiàn)OA、BC交于點(diǎn)D,∠BOC=60°,OA=2
    3
    ,E為AC邊中點(diǎn),BE與OA交于點(diǎn)F,點(diǎn)P從點(diǎn)O(包含頂點(diǎn)O)開(kāi)始沿OA方向以每秒2
    3
    個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C(包含頂點(diǎn)C)出發(fā)沿CB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí),P,Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.
    (1)若記以P、B、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形面積為S,分別求出點(diǎn)P在線(xiàn)段OD(不含點(diǎn)D)和在線(xiàn)段AF(不含點(diǎn)F)上時(shí),S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出相應(yīng)的自變量x的取值范圍.
    (2)若以P、B、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形,求x的值.
    (3)如圖2,若點(diǎn)M、N分別在菱形的邊OC、AC上,且∠MBN=60°,∠MBN在∠OBA內(nèi)部繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,請(qǐng)你探究OM+AN的值是否發(fā)生變化?若不變,求出其值;若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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    A.∠BOFB.∠AODC.∠COED.∠COF
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    (2)若以P、B、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形,求x的值.
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