Question

已知拋物線的頂點為P，與x軸的正半軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，與y軸交于點C，PA是△ABC的外接圓的切線．設(shè)M（0，），若AM∥BC，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：利用公式法求出拋物線的頂點坐標(biāo)，再令x=0，求出此時對應(yīng)的y值，即C的縱坐標(biāo)，設(shè)△ABC的外接圓的圓心為D，則點P和點D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)點D的坐標(biāo)為（3b，m）．再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出AE的值，利用射影定理和切線的性質(zhì)即可求出m的值，進(jìn)而求出c的值，最后利用相似三角形的性質(zhì)求出b的值，從而求出拋物線的解析式．
解答：解：∵拋物線中，
a′=-，b′=b，c′=c，
∴點P的橫坐標(biāo)為：-=3b，縱坐標(biāo)為：=b²+c，
∴點P的坐標(biāo)為，
令x=0，則y=c，
∴點C（0，c），
設(shè)△ABC的外接圓的圓心為D，則點P和點D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)點D的坐標(biāo)為（3b，m）．
顯然，x₁，x₂是一元二次方程的兩根，
∴，，
又∵AB的中點E的坐標(biāo)為（3b，0），
∴AE=．
∵PA為⊙D的切線，
∴PA⊥AD，
又∵AE⊥PD，
∴由射影定理可得 AE²=PE•DE，即，又易知m＜0，
∴可得m=-6，
又∵DA=DC得 DA²=DC²，即，
把m=-6代入后可解得c=-6（另一解c=0舍去）．
又∵AM∥BC，
∴，即．…
把c=-6代入，解得，（另一解舍去）．
∴拋物線的解析式為．
點評：本題綜合性的考查了二次函數(shù)的各種性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、射影定理的運(yùn)用，根與系數(shù)的關(guān)系以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的難度非常大．