Question

己知拋物線y=ax²-4ax+b與x軸交于A，B兩點，（A在B的左側(cè)），與y軸交于C，若OB=OC，且
C（0，3）．
①求拋物線的解析式；
②設拋物線的頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標；
③在拋物線上是否存一點M，過M作MN⊥x軸于N，以A、M、N為頂點的三角形與△AOC相似，若存在，求出所有符合條件的M點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）易知B（3，0），C（0，3），代入拋物線的解析式中，得：
，解得；
∴y=x²-4x+3．

（2）如圖；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=3；
易知A（1，0），D（2，-1），
則∠ADP=45°，AD=，AB=2；
∴∠ABC=∠ADP=45°；
①當點P在x軸上方時，
已知∠APD=∠ACB，則△APD∽△ACB，得：
，即，故PD=3，P（2，2）；
②當點P在x軸下方時，此時P′、P關于x軸對稱，故P′（2，-2）；
因此有兩個符合條件的P點，且坐標為P（2，2）或（2，-2）．

（3）∵A（1，0），C（0，3），
∴OC=3OA=3；
又∠AOC=∠ANM=90°，
若以A、M、N為頂點的三角形與△AOC相似，
則AN=3MN或3AN=MN；
設M（m，m²-4m+3），則N（m，0）；
①當m＜1時，AN=1-m，MN=m²-4m+3；
若AN=3MN，1-m=3（m²-4m+3），解得m=，m=1；
若3AN=MN，3（1-m）=m²-4m+3，解得m=0，m=1；
由于m＜1，且m≠0，故上述四個解都不符合題意；
②當1＜m＜3時，AN=m-1，MN=-（m²-4m+3）；
若AN=3MN，m-1=-3（m²-4m+3），解得m=1（舍去），m=；
若3AN=MN，3（m-1）=-（m²-4m+3），解得m=0（舍去），m=1（舍去）；
故M（，-）；
③當m＞3時，AN=m-1，MN=m²-4m+3；
若AN=3MN，m-1=3（m²-4m+3），解得m=1（舍去），m=；
若3AN=MN，3（m-1）=m²-4m+3，解得m=1（舍去），m=6；
故M（，）或（6，5）；
綜上所述，存在符合條件的M點，且坐標為：M₁（，），M₂（6，5），M₃（，-）．
分析：（1）根據(jù)OB=OC，可得到C點的坐標，將B、C的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）根據(jù)（1）得到的拋物線的解析式，可求得頂點D的坐標，易求得∠CBO=∠ADP=45°；
當P點在x軸上方時，若∠ACB=∠APD，則△APD∽△ACB，可先求出AB、BC、AD的長，然后根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出DP的長，從而確定P點的坐標．
當P點在x軸下方時（設為P′），點P′正好和上面所得P點關于x軸對稱，由此得解．
（3）此題需要考慮的情況較多，根據(jù)A、C的坐標，易知3OA=OC，而∠AOC=∠ANM=90°，若以A、M、N為頂點的三角形與△AOC相似，則：AN=3MN或3AN=MN，可設出點M的橫坐標，根據(jù)拋物線的解析式表示出它的縱坐標，然后表示出AN、MN的長，進而根據(jù)上面兩種情況中不同的等量關系求得點M的坐標．（要注意的是，在表示AN、MN的長時，要根據(jù)點M的不同位置分類討論）
點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及相似三角形的判定和性質(zhì)，要注意的是（2）（3）題都需要分類討論，一定要考慮全面，以免漏解．