Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+2x+c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OB＝OC＝3．

(1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式．

(2)如圖1，連接BC，點(diǎn)D是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，連接OD，CD．OD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)S△COF：S△CDF＝3：2時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

(3)如圖2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，連接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在點(diǎn)P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）；(3)點(diǎn)P坐標(biāo)為：（，）或（，）．

【解析】

（1）OB=OC=3，則：B（3，0），C（0，-3），把B、C坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，解得拋物線(xiàn)方程為：y=-x2+2x+3；

（2）S△COF：S△CDF=3：2，則S△COF=S△COD，即：xD=xF，即可求解；

（3）分∠PBE或∠PEB等于2∠OBE兩種情況分別求解即可．

(1)OB＝OC＝3，則：B（3，0），C（0，﹣3），

把B、C坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，

解得拋物線(xiàn)方程為：y＝﹣x2+2x+3；

(2)∵S△COF：S△CDF＝3：2，

∴S△COF＝S△COD，即：xD＝xF，

設(shè)：F點(diǎn)橫坐標(biāo)為3t，則D點(diǎn)橫坐標(biāo)為5t，

點(diǎn)F在直線(xiàn)BC上，

而BC所在的直線(xiàn)方程為：y＝﹣x+3，則F（3t，3﹣3t），

則：直線(xiàn)OF所在的直線(xiàn)方程為：y＝x＝x，

則點(diǎn)D（5t，5﹣5t），

把D點(diǎn)坐標(biāo)代入①，解得：t＝或，

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）；

(3)①如圖所示，當(dāng)∠PEB＝2∠OBE＝2α時(shí)，

過(guò)點(diǎn)E作∠PEB的平分線(xiàn)交x軸于G點(diǎn)，PE交x軸于H點(diǎn)，

則：∠PEQ＝∠QEB＝∠ABE＝α，則∠HGE＝2α，

設(shè)：GB＝m，則：OG＝3﹣m，GE＝m，

在Rt△OGE中，由勾股定理得：EG2＝OG2+OE2，

即：m2＝（3﹣m）2+（）2，解得：m＝，

則：GE＝，OG＝，BE＝，

∵∠PEQ＝∠ABE＝α，∠EHG＝∠EHG，∴△HGE∽△HEB，

∴＝＝，設(shè)：GH＝x，HE＝4x，

在Rt△OHE中，OH＝OG﹣HG＝﹣x，OE＝，EH＝4x，

由勾股定理解得：x＝，則：OH＝，H（，0），

把E、H兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，

解得EH所在直線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x﹣，

將上式與①聯(lián)立并解得：x＝，

則點(diǎn)P（，）；

②當(dāng)∠PBE＝2∠OBE時(shí)，則∠PBO＝∠EBO，

BE所在直線(xiàn)的k值為，則BE所在直線(xiàn)的k值為﹣，

則：PB所在的直線(xiàn)方程為：y＝﹣x+3，

將上式與①聯(lián)立，解得：x＝，（x＝0已舍去），

則點(diǎn)P（，），

故：點(diǎn)P坐標(biāo)為：（，）或（，）．