Question

一位同學拿了兩塊45°的三角尺△MNK、△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設(shè)AC=BC=a．

（1）如圖1，兩個三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為

 

，周長為

 

；
（2）將圖1中的△MNK繞頂點M逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到圖2，此時重疊部分的面積為

 

，周長為

 

；
（3）如果將△MNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于圖1，圖2的位置，如圖3所示，猜想此時重疊部分的面積為多少？并試著加以驗證．

Answer 1

分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)：底邊上的中線與底邊上的高重合，得到△AMC是等腰直角三角形，AM=MC=

2

2

AC=

2

2

a，則重疊部分的面積是△ACB的面積的一半，為

1

4

a²，周長為（1+

2

）a．
（2）易得重疊部分是正方形，邊長為

1

2

a，面積為

1

4

a²，周長為2a．
（3）過點M分別作AC、BC的垂線MH、MG，垂足為H、G．求得Rt△MHE≌Rt△MGF，則陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積．

解答：解：（1）∵AM=MC=

2

2

AC=

2

2

a，則
∴重疊部分的面積是△ACB的面積的一半為

1

4

a²，周長為（1+

2

）a．

（2）∵疊部分是正方形
∴邊長為

1

2

a，面積為

1

4

a²，周長為2a．

（3）猜想：重疊部分的面積為

1

4

a2．
理由如下：
過點M分別作AC、BC的垂線MH、MG，垂足為H、G
設(shè)MN與AC的交點為E，MK與BC的交點為F
∵M是△ABC斜邊AB的中點，AC=BC=a
∴MH=MG=

1

2

a
又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，
∴∠HME=∠GMF，
∴Rt△MHE≌Rt△MGF
∴陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積
∵正方形CGMH的面積是MG•MH=

1

2

a×

1

2

a=

1

4

a2
∴陰影部分的面積是

1

4

a2．

點評：本題利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的面積公式，正方形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)求解．