【題目】已知,△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖①所示,A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣6,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),連接DE經(jīng)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+8.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖①,將△BDE以DE為軸翻折,點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí),求G點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖②,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),拋物線y=ax2+bx+8的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F,使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)G點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,4+)或(﹣1,4﹣);(3)存在,點(diǎn)F的坐標(biāo)是(﹣1,4)、(﹣1,﹣4)或(﹣1,12).
【解析】
(1)根據(jù)拋物線y=ax2+bx+8經(jīng)過點(diǎn)A(﹣6,0),B(4,0),應(yīng)用待定系數(shù)法,求出拋物線的解析式即可.
(2)首先作DM⊥拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M,設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,n),根據(jù)翻折的性質(zhì),可得BD=DG;然后分別求出點(diǎn)D、點(diǎn)M的坐標(biāo)各是多少,以及BC、BD的值各是多少;最后在Rt△GDM中,根據(jù)勾股定理,求出n的值,即可求出G點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)根據(jù)題意,分三種情況:①當(dāng)CD∥EF,且點(diǎn)E在x軸的正半軸時(shí);②當(dāng)CD∥EF,且點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸時(shí);③當(dāng)CE∥DF時(shí);然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),求出點(diǎn)F的坐標(biāo)各是多少即可.
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+8經(jīng)過點(diǎn)A(﹣6,0),B(4,0),
∴
解得
∴拋物線的解析式是:
(2)如圖①,作DM⊥拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M,,
設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,n),
由翻折的性質(zhì),可得BD=DG,
∵B(4,0),C(0,8),點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,4),
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是(﹣1,4),DM=2﹣(﹣1)=3,
∵B(4,0),C(0,8),
∴BC= =4 ,
∴BD=2,
在Rt△GDM中,
32+(4﹣n)2=20,
解得n=4±,
∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,4+)或(﹣1,4﹣).
(3)拋物線y=ax2+bx+8的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F,使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.
①當(dāng)CD∥EF,且點(diǎn)E在x軸的正半軸時(shí),如圖②,
由(2),可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,4),
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(c,0),點(diǎn)F的坐標(biāo)是(﹣1,d),
則
解得
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是(﹣1,4),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1,0).
②當(dāng)CD∥EF,且點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸時(shí),如圖③,
由(2),可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,4),
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(c,0),點(diǎn)F的坐標(biāo)是(﹣1,d),
則
解得
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是(﹣1,﹣4),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(﹣3,0).
③當(dāng)CE∥DF時(shí),如圖④,,
由(2),可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,4),
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(c,0),點(diǎn)F的坐標(biāo)是(﹣1,d),
則
解得
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是(﹣1,12),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(3,0).
綜上,可得
拋物線y=ax2+bx+8的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F,使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,
點(diǎn)F的坐標(biāo)是(﹣1,4)、(﹣1,﹣4)或(﹣1,12).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:無(wú)論函數(shù)解析式中自變量的字母系數(shù)取何值,函數(shù)的圖象都會(huì)過某一個(gè)點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)稱為定點(diǎn). 例如,在函數(shù)中,當(dāng)時(shí),無(wú)論取何值,函數(shù)值,所以這個(gè)函數(shù)的圖象過定點(diǎn).
求解體驗(yàn)
(1)①關(guān)于的一次函數(shù)的圖象過定點(diǎn)_________.
②關(guān)于的二次函數(shù)的圖象過定點(diǎn)_________和_________.
知識(shí)應(yīng)用
(2)若過原點(diǎn)的兩條直線、分別與二次函數(shù)交于點(diǎn)和點(diǎn)且,試求直線所過的定點(diǎn).
拓展應(yīng)用
(3)若直線與拋物線交于、兩點(diǎn),試在拋物線上找一定點(diǎn),使,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等腰三角形一條邊的邊長(zhǎng)為3,它的另兩條邊的邊長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的兩個(gè)根,則k的值是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球,這些球除顏色外其余都相同,先從袋中摸出1個(gè)球后不放回,再摸出一個(gè)球.
(1)請(qǐng)用樹狀圖或列表法列舉出兩次摸球可能出現(xiàn)的各種結(jié)果.
(2)求兩次摸到不同顏色的球的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解某小區(qū)青年對(duì)“高鐵”、“掃碼支付”、“網(wǎng)購(gòu)”和“共享單車”新四大發(fā)明的喜愛程度,隨機(jī)調(diào)查該小區(qū)一部分青年(每名青年只能選一個(gè)),并將調(diào)查結(jié)果制成如圖所示統(tǒng)計(jì)表與條形統(tǒng)計(jì)圖.
青年最喜愛的新四大發(fā)明人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
節(jié)目 | 人數(shù)(名) | 百分比 |
共享單車 | 5 | |
掃碼支付 | 15 | |
網(wǎng)購(gòu) | ||
高鐵 | 10 |
青年最喜愛的新四大發(fā)明人數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖
(1)計(jì)算的值 ;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)在被調(diào)查喜愛“共享單車”青年中,小明一周內(nèi)使用共享單車的次數(shù)分別為:1,3,5,12,,若整數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù),直接寫出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在面積都相等的所有矩形中,當(dāng)其中一個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)為1時(shí),它的另一邊長(zhǎng)為3.
(1)設(shè)矩形的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為x,y.
①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
②當(dāng)y≥3時(shí),求x的取值范圍;
(2)圓圓說(shuō)其中有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為6,方方說(shuō)有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為10,你認(rèn)為圓圓和方方的說(shuō)法對(duì)嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某玩具公司生產(chǎn)一種電子玩具,每只玩具的生產(chǎn)成本為18元,試銷過程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量y(萬(wàn)只)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可以近似的看作一次函數(shù)y=2x+100,設(shè)每月銷售這種玩具的利潤(rùn)為w(萬(wàn)元).
(1)寫出w與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),公司每月獲得的利潤(rùn)為440萬(wàn)元?
(3)如果公司每月的生產(chǎn)成本不超過540萬(wàn)元,那么當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),公司每月獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】九(1)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查,整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價(jià)與銷售量的相關(guān)信息如下表:
時(shí)間x(天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
售價(jià)(元/件) | x+40 | 90 |
每天銷量(件) | 200-2x |
已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元,設(shè)銷售該商品的每天利潤(rùn)為y元[
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問銷售該商品第幾天時(shí),當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?
(3)該商品在銷售過程中,共有多少天每天銷售利潤(rùn)不低于4800元?請(qǐng)直接寫出結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】金松科技生態(tài)農(nóng)業(yè)養(yǎng)殖有限公司種植和銷售一種綠色羊肚菌,已知該羊肚菌的成本是12元/千克,規(guī)定銷售價(jià)格不低于成本,又不高于成本的兩倍.經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),某天該羊肚菌的銷售量y(千克)與銷售價(jià)格x(元/千克)的函數(shù)關(guān)系如下圖所示:
(1)求y與x之間的函數(shù)解析式;
(2)求這一天銷售羊肚菌獲得的利潤(rùn)W的最大值;
(3)若該公司按每銷售一千克提取1元用于捐資助學(xué),且保證每天的銷售利潤(rùn)不低于3600元,問該羊肚菌銷售價(jià)格該如何確定.
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