Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），且其對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣1．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)A，點(diǎn)B），求△PAB的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）△PAB的面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（，）．

【解析】

（1）因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸是直線x=-1，所以得到點(diǎn)A（-3，0）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（1，0），因此利用交點(diǎn)式y=a（x-x1）（x-x2），求出解析式．
（2）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得最大值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．

（1）∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝﹣1且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）

由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知：拋物線還經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）

設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）

即：y＝a（x﹣1）（x+3）

把B（0，3）代入得：3＝﹣3a

∴a＝﹣1

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，

∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴，

∴直線AB為y＝x+3，

作PQ⊥x軸于Q，交直線AB于M，

設(shè)P（x，﹣x2﹣2x+3），則M（x，x+3），

∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，

∴，

當(dāng)時(shí)，，，

∴△PAB的面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）.