Question

16．如圖所示，已知正△ABC中射線CM⊥AB于F，射線BA繞B順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的射線記作a，同時線段AB所在直線繞A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的直線記作直線l，當直線l旋轉(zhuǎn)的角度是射線a旋轉(zhuǎn)角度的4倍時，直線l于射線CM相交于E，與射線a相交于D，且∠D=30°．
（1）求射線a的旋轉(zhuǎn)角是多少度；
（2）求證：DE=AB；
（3）探索：線段DE，EF，DB的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和，直線a，l的旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系建立方程4α=30°+α即可；
（2）由∠BCE=∠D=30°，判斷出點B，C，D，E四點共圓，再判斷出∠EBD=∠BDC，即可；
（3）判斷出△BDE≌△ECA，再代換即可．

解答 解：（1）設(shè)直線l旋轉(zhuǎn)角為α，
∴∠ABD=α
∵射線l旋轉(zhuǎn)的角度是射線a旋轉(zhuǎn)角度的4倍，
∴∠BAE=4α，
∵∠BAE=∠ABD+∠D，
∴4α=α+30°，
∴α=10°，
射線a的旋轉(zhuǎn)角是10°；
（2）連接BE，

在正△ABC中，CF⊥AB，
∴∠BCE=30°，
∵∠D=30°，
∴∠BCE=∠D=30°，
∴點B，C，D，E四點共圓（線段同側(cè)的兩點對線段的張角相等，則這兩點以及線段的兩個端點共圓）
∵CE⊥AB，AF=BF，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠BAE=40°，
∴∠EBD=50°，∠EBC=100°，
∴∠EDC=80°，
∴∠BDC=50°
∴∠EBD=∠BDC，
∴DE=BC，
∵BC=AB，
∴DE=AB，
（3）∵∠BAE=40°，
∴∠AEC=50°，
∵∠ABE=40°，∠ABD=10°，
∴∠EBD=∠AEC=50°
∵∠BDE=∠ACE=30°，DE=AC，
∴△BDE≌△ECA，
∴BD=EC=EF+FC=EF+$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=EF+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)外角的關(guān)系，四點共圓的判定，解本題的關(guān)鍵是說明點B，C，D，E四點共圓，也是本題的難點．