Question

如圖，拋物線y=（x+1）²+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-3）．
（1）求拋物線的對稱軸及k的值；
（2）在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PA+PC的值最小，求此時點P的坐標；
（3）設點M是拋物線上的一動點，且在第三象限．當M點運動到何處時，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的解析式為：y=（x+1）²+k，
∴其對稱軸為：直線x=-1．
∵拋物線y=（x+1）²+k過點C（0，-3），
∴-3=（0+1）²+k，解得k=-4；

（2）如圖，∵兩點之間線段最短，
∴當P點在線段AC上就可使PA+PC的值最�。�
又∵P點要在對稱軸上，
∴P點應為線段AC與對稱軸直線x=-1的交點，
由（1）可知，拋物線的表達式為：y=（x+1）²-4=x²+2x-3．
令y=0，則x²+2x-3=0．
解得：x₁=-3，x₂=1．
∴點A、B的坐標分別是A（-3，0）、B（1，0），
設直線AC的表達式為y=kx+b，則
解得
∴直線AC的表達式為y=-x-3，
當x=-1時，y=-（-1）-3=-2．
∴此時點P的坐標為（-1，-2）；

（3）依題意得：當點M運動到拋物線的頂點時，△AMB的面積最大．
∵拋物線表達式為y=（x+1）²-4，
∴拋物線的頂點坐標為（-1，-4），即MD=4，
∴點M的坐標為（-1，-4），
∴△AMB的最大面積S_△AMB=AB•MD=×（3+1）×4=8．
分析：（1）由拋物線的解析式即可得出其對稱軸方程，再把點C（0，-3）代入拋物線的解析式即可求出k的值；
（2）由兩點之間線段最短可知當P點在線段AC上就可使PA+PC的值最小，再由P點要在對稱軸上，可知P點應為線段AC與對稱軸直線x=-1的交點，由（1）中求出的C點坐標即可得出拋物線的表達式，故可求出A、B兩點的坐標，利用待定系數法即可求出直線AC的解析式，把x=-1代入即可求出P點坐標；
（3）由于線段AB為定值，所以當B點在拋物線的頂點上△ABM的面積最大，由A、B、M三點的坐標即可得出AB及BD的長，再由三角形的面積公式即可得出結論．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式，三角形的面積公式等相關知識，難度適中．