Question

已知反比例函數(shù)y=

m

x

（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（-1，6）．
（1）求m的值；
（2）如圖，過點A作直線AC與x軸交于點C，與函數(shù)y=

m

x

的圖象交于點B，若AB=BC，求原點O到直線AB的距離．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；
（2）首先作AF⊥x軸于F，作BE⊥x軸于E，作BG⊥y軸于G，交AF于H，直線AC交y軸于D，證明Rt△BCE≌Rt△ABH（AAS），即可得出B點坐標，求出直線AB的解析式，
由S_△COD=

1

2

×CO×DO=

1

2

×CD×d，求出即可．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

m

x

（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（-1，6），
∴m=-1×6=-6，
∴m的值為-6．
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-

6

x

．

（2）如圖，作AF⊥x軸于F，作BE⊥x軸于E，
作BG⊥y軸于G，交AF于H，直線AC交y軸于D．
∵BG∥CO，∴∠ABH=∠BCF，
同理，∴∠BAH=∠CBE，
在Rt△BCE和Rt△ABH中

∠CEB=∠BHA ∠ECB=∠HAB BC=AB

∴Rt△BCE≌Rt△ABH（AAS）．
∴CE=BH，BE=AH．
又四邊形BEFH為矩形，BH=EF，∴CE=EF．
由題意：AF=6，∴BE=

1

2

AH=3．
∴點B的縱坐標為3．又點B在反比例函數(shù)y=-

6

x

的圖象上，
∴點B的橫坐標為x=-2，即點B的坐標為（-2，3）．
設直線AC的方程為y=kx+b，將A（-1，6）、B（-2，3）的坐標代入直線方程，
得

-k+b=6 -2k+b=3

解方程組，得

k=3 b=9

，
∴直線AB的方程為y=3x+9．
令y=0，得x=-3，令x=0，得y=9．
∴點C、D的坐標為（-3，0）、（0，9），∴CO=3，OD=9．
由勾股定理得CD=

32+92

=3

10

．
設原點O到直線AB的距離為d，則由S_△COD=

1

2

×CO×DO=

1

2

×CD×d，
得3×9=3

10

×d，
∴d=

9

10

=

9 10

10

．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應用以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積等知識，得出直線AB的解析式利用三角形面積求出是解題關鍵．