Question

已知AB∥CD，分別探討下列四個圖形中∠APC和∠PAB、∠PCD的關系，并說明理由．

Answer 1

解：①過點P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠1=180°，∠2+∠PCD=180°，
∵∠APC=∠1+∠2，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=∠PAB+∠1+∠2+∠PCD=360°；

②過點P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
∵∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD；

③∵AB∥CD，
∴∠1=∠PCD，
∵∠1=∠PAB+∠APC，
∴∠PCD=∠PAB+∠APC；

④∵AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，
∵∠1=∠PCD+∠APC，
∴∠PAB=∠PCD+∠APC．
分析：①首先過點P作PQ∥AB，又由AB∥CD，可得PQ∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補，即可求得∠PBA+∠1=180°，∠2+∠PCD=180°，則可得∠APC+∠PAB+∠PCD=∠PBA+∠1+∠2+∠PCD=360°；
②首先過點P作PQ∥AB，又由AB∥CD，可得PQ∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等，即可得∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，則可得∠APC=∠PAB+∠PCD；
③由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可得∠1=∠PCD，然后由三角形外角的性質，即可求得∠PCD=∠PAB+∠APC；
④由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等，即可得∠1=∠PAB，然后由三角形外角的性質，即可求得∠PAB=∠PCD+∠APC．
點評：此題考查了平行線的性質．注意掌握兩直線平行，內錯角相等，同位角相等，同旁內角互補與輔助線的添加方法是解此題的關鍵．