Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），⊙P始終和x軸相切，和直線AB相交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)D的橫坐標(biāo)）．若P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，試用含有m的代數(shù)式表示點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)C在線段AB上，當(dāng)△BOC為等腰三角形時(shí)求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，- x+4=0，x=3．

∴A（3，0），B（0，4）．

（2）解：設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為n．由（1）知AB= =5，

∴sin∠OBA= ．

過C作CE⊥x軸于E，過P作PG⊥x軸于G，PF⊥CE于F，

則∠FCP=∠OBA，PF=m-n．

①當(dāng)m＜3時(shí)，∵PC=PG=- m+4，

∴PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA，

∴m-n=（- m+4）× ．

解得n= m-

②當(dāng)m＞3時(shí)，PC=PG= m-4，PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA，

∴m-n=（ m-4）× ．

解得n= m+

（3）解：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，由（2）知，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)n= m- ，

以下兩種情況△BOC為等腰三角形．

①當(dāng)CB=CO時(shí)，

∵△OBA是直角三角形，∠BOA=90度．

∴此時(shí)C為AB的中點(diǎn)，

∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ．

∴ m- = ，解得m= ．

②當(dāng)CB=OB時(shí)，

∵AB=5，

∴AC=AB-CB=1，

∴AE=ACcos∠OAB= ．

∵OE+AE=OA，

∴ m- + =3，解得m= ．

③當(dāng)OC=OB時(shí)，因?yàn)镺B＞OA，所以C在線段BA的延長(zhǎng)線上，即在線段AB上不存在點(diǎn)C，使OC=OB。

所以，當(dāng)m= 或m= 時(shí)，△BOC為等腰三角形．

【解析】（1）根據(jù)題意分別求出當(dāng)x=0時(shí)和當(dāng)y=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值和自變量的值，即可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。
（2）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為n．利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，過C作CE⊥x軸于E，過P作PG⊥x軸于G，PF⊥CE于F，證得∠FCP=∠OBA，PF=m-n．分兩種情況：①當(dāng)m＜3時(shí)；②當(dāng)m＞3時(shí)，得出PC=PG，再分別根據(jù)PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA；PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA，得出關(guān)于m、n的關(guān)系式，即可求出n的值。
（3）分三種情況：①當(dāng)CB=CO時(shí)，根據(jù)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)建立方程，求出m的值；②當(dāng)CB=OB時(shí)，根據(jù)OE+AE=OA，建立關(guān)于m的方程，求解即可。
③在線段AB上不存在點(diǎn)C，使OC=OB。
【考點(diǎn)精析】掌握等腰三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理是解答本題的根本，需要知道等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．