Question

9．如圖，AB是⊙0的直徑，且AB=4，$\widehat{AC}$=10°，$\widehat{BD}$=70°，點P為直徑AB上一動點，則CP+DP的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)軸對稱，作出點C關(guān)于AB的對稱點E，連接DE交AB于點P，此時PC+PD最小，就等于DE的長．由題意可知∠DOE=120°，然后在△DOE中求出DE的長．

解答 解：如圖：點E是點C關(guān)于AB的對稱點，根據(jù)對稱性可知：PC=PE．
由兩點之間線段最短，此時DE的長就是PC+PD的最小值，
∵AB=4，
∴OE=2，
∵$\widehat{AC}$=10°，$\widehat{BD}$=70°，
∴$\widehat{AE}$的度數(shù)為10°，$\widehat{CD}$的度數(shù)為100°，∴$\widehat{DCE}$的度數(shù)=120°，
∴∠DOE=120°，∠E=30°，
過O作ON⊥DE于N，則DE=2DN，
∵cos30°=$\frac{EN}{OE}$，
∴EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，
即DE=2EN=2$\sqrt{3}$
∴PC+PD的最小值為2$\sqrt{3}$．
故選B．

點評 本題考查了垂徑定理以及軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱找出點C的對稱點E，由兩點之間線段最短，確定DE的長就是PC+PD的最小值是本題的關(guān)鍵．