Question

用棱長為1cm的若干小正方體按如圖所示的規(guī)律在地面上搭建若個幾何體．圖中每個幾何體自上而下分別叫第一層，第二層…第n層（n為正整數(shù)），其中第一層擺放一個，第二層擺放4個，第三層擺放9個…，依次按規(guī)律擺放．（圖片所示為第三個幾何體）
（1）求搭建第4個幾何體的小立方體的個數(shù)，第n個幾何體第n層的個數(shù)及總數(shù)．
（2）畫出第2，第3個幾何體的三視圖，并求出這兩個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積之和．
（3）為了美觀，若將幾何體的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知噴涂1cm²需要油漆0.1g，求噴涂第n個幾何體，共需要多少g油漆？（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：（1）觀察得到每層向上的面都為正方形，即每層的個數(shù)都為平方數(shù)，則搭建第4個幾何體的小立方體的個數(shù)=1+4+9+16；第n個幾何體第n層的個數(shù)為n²，所以總數(shù)為1+2²+3²+4²+…+n²；
（2）根據三視圖的畫法分別畫出兩幾何體得三視圖；然后根據四個側面和向上的面的小正方形的個數(shù)得到兩個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積之和；
（3）根據（2）中的方法得到第n個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積=4×（1+2+3+…+n）+n²，化簡后乘以0.1即可．

解答：解：（1）搭建第4個幾何體的小立方體的個數(shù)=1+4+9+16=30；第n個幾何體第n層的個數(shù)為n²，其總數(shù)為1+2²+3²+4²+…+n²；

（2）第2個幾何體的主視圖為，左視圖為，俯視圖為；
第3個幾何體的主視圖為，左視圖為，俯視圖；
這兩個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積之和=4×3+4+4×6+9=49（cm²）；

（3）第n個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積=4×（1+2+3+…+n）+n²=4×

n(n+1)

2

+n²=3n²+2n，
所以所需要的油漆量=（3n²+2n）×0.1=（0.3n²+0.2n）g．

點評：此題主要考查了圖形的變化類：通過特殊圖象找到圖象變化，歸納總結出規(guī)律，再利用規(guī)律解決問題．也考查了三視圖．