Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C，連接BC.將直線l沿著x軸正方形平移m個(gè)單位得到直線， 交軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F.

（1）求點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)

（2）如圖2，將沿直線翻折得到，求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】（1）A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）；

（2）點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（m﹣10，﹣m+6）；

（3）F的坐標(biāo)為（﹣1，3﹣12）

【解析】試題分析：（1）通過解方程，可得A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)勾股定理求得BC=10，即可證得AB=BC，根據(jù)AC∥FD，得出，求得BE=BD，即可證得四邊形EB′DB是菱形，得出B′D∥BC，然后過點(diǎn)B′作B′H⊥AB與H，證得△B′HD∽△COB，即可求得 進(jìn)一步求得OH，得出B′的坐標(biāo)；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BM=B′M，由平移的定義可知DE∥AC，根據(jù)平行線分線段成比例定理證得BD=AD=AB=5，求得D的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求得AC的解析式，進(jìn)而求得DF的解析式，然后聯(lián)立方程，即可求得F的坐標(biāo)．

試題解析：

（1）將y=0代入y=﹣x2+x+6得，﹣x2+x+6=0，

解得x1=﹣2，x2=8，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）；

將x=0代入y=﹣x2+x+6得y=6，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）；

（2）在RT△COB中，由勾股定理得BC=，

∵AB=AO+OB=2+8=10，

∴AB=BC，

∵AD=m，

∴DB=AB﹣AD=10﹣m，

∵AC∥FD，

∴,

∴BE=BD=B′E=B′D=10﹣m，

∴四邊形EB′DB是菱形，

∴B′D∥BC，

過點(diǎn)B′作B′H⊥AB與H，

∴∠B′DH=∠CBO，∠B′HD=∠COB=90°，

∴△B′HD∽△COB，

∴,即，

∴B′H=﹣m+6，HD=﹣m+8，

當(dāng)點(diǎn)B′在y軸的右側(cè)時(shí)，OH=OB﹣HD﹣DB=8﹣（﹣m+8）﹣（10﹣m）=m﹣10，

當(dāng)點(diǎn)B′在y軸的左側(cè)時(shí)，OH=HD+DB﹣OB=（﹣m+8）+（10﹣m）﹣8=10﹣m，

∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（m﹣10，﹣m+6）；

（3）∵四邊形EB′DB是菱形，

∴BM=B′M，

由平移的定義可知DE∥AC，

∴，

∴BD=AD=AB=5，

∵OA=2，

∴OD=3，

∴D的坐標(biāo)為（3，0），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

代入A（﹣2，0），C（0，6）得： ，解得，

∵DF∥AC，

設(shè)直線DF的解析式為y=3x+b，

代入D（3，0）得9+b=0，

解得b=﹣9，

∴直線DF為y=3x﹣9，

解，得或，

∴F的坐標(biāo)為（﹣1，3﹣12）．