Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分別為邊AB、BC的中點，連結(jié)DE，點P從點A出發(fā)，沿折線AD－DE－EB運動，到點B停止．點P在AD上以cm/s的速度運動，在折線DE－EB上以1cm/s的速度運動．當(dāng)點P與點A不重合時，過點P作PQ⊥AC于點Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點M落在線段AC上．設(shè)點P的運動時間為t(s).

（1）當(dāng)點P在線段DE上運動時，線段DP的長為______cm,（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）當(dāng)點N落在AB邊上時，求t的值．

（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，設(shè)五邊形的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

（4）連結(jié)CD．當(dāng)點N于點D重合時，有一點H從點M出發(fā)，在線段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M連續(xù)做往返運動，直至點P與點E重合時，點H停止往返運動；當(dāng)點P在線段EB上運動時，點H始終在線段MN的中心處．直接寫出在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）t－2（2）t=4或t=（3）（4）t=或t=5或

6≤t≤8。

【解析】解：（1）t－2。

（2）當(dāng)點N落在AB邊上時，有兩種情況：

①如圖（2）a，當(dāng)點N與點D重合時，此時點P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。

②如圖（2）b，此時點P位于線段EB上．

∵DE=1 2 AC=4，∴點P在DE段的運動時間為4s，

∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。

∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。

由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=。

綜上所述，當(dāng)點N落在AB邊上時，t=4或t=。

（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，有兩種情況：

①當(dāng)2＜t＜4時，如圖（3）a所示。

DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。

∵M(jìn)N∥BC，∴△AFM∽△ABC�！郌M：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。

∴FM=AM=t．

 ∴

 。

②當(dāng)＜t＜8時，如圖（3）b所示。

PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，

∴FM=AM=6-t，PG=2PB=16-2t，

∴

 。

綜上所述，S與t的關(guān)系式為：。

（4）在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的取值范圍是：t=或t=5或

6≤t≤8。

（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，∴由勾股定理得AB=cm。

      ∵D為邊AB的中點，∴AD=cm。

    又∵點P在AD上以cm/s的速度運動，∴點P在AD上運動的時間為2s。

   ∴當(dāng)點P在線段DE上運動時，在線段DP上的運動的時間為t－2s。

  又∵點P在DE上以1cm/s的速度運動，∴線段DP的長為t－2 cm。

（2）當(dāng)點N落在AB邊上時，有兩種情況，如圖（2）所示，利用運動線段之間的數(shù)量關(guān)系求出時間t的值。

（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，有兩種情況，如圖（3）所示，分別用時間t表示各相關(guān)運動線段的長度，然后利用求出面積S的表達(dá)式。

（4）本問涉及雙點的運動，首先需要正確理解題意，然后弄清點H、點P的運動過程：

依題意，點H與點P的運動分為兩個階段，如下圖所示：

①當(dāng)4＜t＜6時，此時點P在線段DE上運動，如圖（4）a所示。

此階段點P運動時間為2s，因此點H運動距離為2.5×2=5cm，而MN=2，

則此階段中，點H將有兩次機會落在線段CD上：

第一次：此時點H由M→H運動時間為（t－4）s，運動距離MH=2.5（t－4），

∴NH=2－MH=12－2.5t。

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（12－2.5t），解得t=。

第二次：此時點H由N→H運動時間為t－4－=（t－4.8）s，運動距離NH=2.5（t－4.8）=2.5t－12，

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（2.5t－12），解得t=5。

②當(dāng)6≤t≤8時，此時點P在線段EB上運動，如圖（4）b所示。

由圖可知，在此階段，始終有MH=MC，即MN與CD的交點始終為線段MN的中點，即點H。

綜上所述，在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的取值范圍是：t=或t=5或6≤t≤8。