Question

如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）試說明CE=CF．
（2）△BCE與△DCF全等嗎？試說明理由．
（3）若AC=10，CE=6，AD=5，求DF的長
（4）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的長．

Answer 1

解：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB CF⊥AD，
∴CE=CF（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）；

（2）全等．
理由如下：在Rt△BCE和Rt△DCF中，，
所以，Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；

（3）在Rt△ACE中，∵AC=10，CE=6，
∴AE===8，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，，
∴Rt△ACE和Rt△ACF（HL），
∴AF=AE，
又∵AD=5，
∴DF=AF-AD=8-5=3；

（4）∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴BE=DF，
∵Rt△ACE和Rt△ACF，
∴AE=AF，
∵AB=21，AD=9，
∴AD+DF=AB-BE，
即9+BE=21-BE，
解得BE=6，
在Rt△BCE中，CE===8，
又∵AE=AB-BE=21-6=15，
∴在Rt△ACE中，AC===17．
分析：（1）根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等解答即可；
（2）利用“HL”即可證明△BCE和△DCF全等；
（3）利用勾股定理列式求出AE的長度，然后利用“HL”證明△ACE和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=AE，再根據(jù)DF=AF-AD代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解；
（4）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DF，然后求出BE的長度，然后求出AE，再根據(jù)勾股定理列式求出CE的長度，再利用勾股定理列式進(jìn)行計算即可求出AC．
點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．