Question

如圖，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC上的一點，以AD為邊作等邊△ADE，過點C作CF∥DE交AB于點F．
（1）若點D是BC邊的中點（如圖①），求證：EF=CD；
（2）在（1）的條件下直接寫出△AEF和△ABC的面積比；
（3）若點D是BC邊上的任意一點（除B、C外如圖②），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△ABC和△AED是等邊三角形，D是BC的中點，ED∥CF，求證△ABD≌△CAF，進而求證四邊形EDCF是平行四邊形即可；
（2）在（1）的條件下可直接寫出△AEF和△ABC的面積比；
（3）根據(jù)ED∥FC，結(jié)合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求證△ABD≌△CAF，得出ED=CF，進而求證四邊形EDCF是平行四邊形，即可證明EF=DC．

解答：
（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，且∠BAD=

1

2

∠BAC=30°，
∵△AED是等邊三角形，
∴AD=AE，∠ADE=60°，
∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°，
∵ED∥CF，
∴∠FCB=∠EDB=30°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°，
∴∠ACF=∠BAD=30°，
在△ABD和△CAF中，

∠BAD=∠ACF AB=CA ∠FAC=∠B

，
∴△ABD≌△CAF（ASA），
∴AD=CF，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED∥CF，
∴四邊形EDCF是平行四邊形，
∴EF=CD．

（2）解：△AEF和△ABC的面積比為：1：4；

（3）解：成立．
理由如下：∵ED∥FC，
∴∠EDB=∠FCB，
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB
∴∠AFC=∠BDA，
在△ABD和△CAF中，

∠BDA=∠AFC ∠B=∠FAC AB=CA

∴△ABD≌△CAF（AAS），
∴AD=FC，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED∥CF，
∴四邊形EDCF是平行四邊形，
∴EF=DC．

點評：此題主要考查學生對平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的理解和掌握．此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，難度較大．