Question

9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點P．使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接AP，若AP平分∠CAB，AC=2，則BC=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)作出AB的垂直平分線進而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定得出△ACP≌△ADP（AAS），進而得出AB的長，再利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）如圖所示：P點即為所求；

（2）∵AP平分∠CAB，
∴∠CAP=∠PAD，
在△ACP和△ADP中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠ADP}\\{∠CAP=∠DAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△ADP（AAS），
∴AC=AD，
∵AD=BD，
∴AB=4，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了基本作圖以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出△ACP≌△ADP是解題關鍵．