Question

4．如圖，△ABC中，AB=AC．D為AC上一點(diǎn)．以CD為直徑的⊙O與AB邊相切于點(diǎn)E．與BC交于點(diǎn)F．FH⊥AB于H，求證：EH=$\frac{1}{2}$CD．

Answer 1

分析 連接OE、OF、DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠OFC+∠BFH=90°，即可證得∠HFO=90°，從而證得四邊形OEHF是正方形，即可證得結(jié)論．

解答 證明：連接OE、OF、DF，
∵CD是直徑，
∴DF⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OF=OC，
∴∠OFC=∠C，
∴∠OFC=∠B，
∵FH⊥AB，
∴∠B+∠BFH=90°，
∴∠OFC+∠BFH=90°，
∴∠HFO=90°，
∵以CD為直徑的⊙O與AB邊相切于點(diǎn)E．
∴OE⊥AB，
∵OE=OF，
∴四邊形OEHF是正方形，
∴EH=OC=$\frac{1}{2}$CD，
即EH=$\frac{1}{2}$CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，作出輔助線根據(jù)直角三角形和正方形是解題的關(guān)鍵．