Question

已知拋物線y=x²-4x+1．將此拋物線沿x軸方向向左平移4個(gè)單位長度，得到一條新的拋物線．
（1）求平移后的拋物線解析式；
（2）若直線y=m與這兩條拋物線有且只有四個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若將已知的拋物線解析式改為y=ax²+bx+c（a＞0，b＜0），并將此拋物線沿x軸方向向左平移-個(gè)單位長度，試探索問題（2）．

Answer 1

【答案】分析：平移的實(shí)質(zhì)可以可作頂點(diǎn)的平移，先將已知拋物線y=x²-4x+1寫成頂點(diǎn)式，再按平移規(guī)律寫出平移后的函數(shù)頂點(diǎn)式．
解答：解：（1）y=x²-4x+1
配方，得y=（x-2）²-3，
向左平移4個(gè)單位，得y=（x+2）²-3
∴平移后得拋物線的解析式為y=x²+4x+1；

（2）由（1）知，兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），（-2，-3）
解，
得
∴兩拋物線的交點(diǎn)為（0，1）
由圖象知，若直線y=m與兩條拋物線有且只有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
m＞-3且m≠1；

（3）由y=ax²+bx+c配方得y=a（x+）²+；
向左平移個(gè)單位長度得到拋物線的解析式為y=a（x-）²+；
∴兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
解
得，
∴兩拋物線的交點(diǎn)為（0，c）
由圖象知滿足（2）中條件的m的取值范圍是：
m＞且m≠c．
點(diǎn)評：此題主要考查拋物線的平移，直線與拋物線的交點(diǎn)等相關(guān)知識；此題綜合性強(qiáng)，難度較大，要求學(xué)生有較好的運(yùn)算能力．