Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，AP是邊BC上的高

(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形；

(2)求證：∠DEF=∠DPF

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)三角形的中位線定理可得EF∥AB，DE∥AC，再根據(jù)平行四邊形的判定證明即可；

（2）根據(jù)平行四邊形的對角相等可得∠DEF＝∠BAC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DP＝AD，FP＝AF，再根據(jù)等邊對等角可得∠DAP＝∠DPA，∠FAP＝∠FPA，然后求出∠DPF＝∠BAC，等量代換即可得到∠DEF＝∠DPF．

證明：（1）∵點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，

∴DE、EF是△ABC的中位線，

∴EF∥AB，DE∥AC，

∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，

∴∠DEF＝∠BAC，

∵D，F分別是AB，CA的中點，AP是邊BC上的高，

∴DP＝AD，FP＝AF，

∴∠DAP＝∠DPA，∠FAP＝∠FPA，

∵∠DAP＋∠FAP＝∠BAC，∠DPA＋∠FPA＝∠DPF，

∴∠DPF＝∠BAC，

∴∠DEF＝∠DPF．