Question

已知：半徑為1的⊙O₁與x軸交A、B兩點(diǎn)，圓心O₁的坐標(biāo)為（2，0），二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與⊙O₁相切，求直線l的解析式；
（3）若M為二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象上一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)P是x軸上的任意一點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)BC、BM．試判斷PC-PM與BC-BM的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可知A（1，0），B（3，0）
∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x²+4x-3；
（2）如圖，設(shè)直線l與⊙O相切于點(diǎn)E，
∴O₁E⊥l，

∵O₁O=2，O₁E=1，∴OE=，
過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，
∴EH=，OH=，
∴E（，），
∴l(xiāng)的解析式為：y=x，
根據(jù)對稱性，滿足條件的另一條直線l的解析式為：y=-x，
∴所求直線l的解析式為：y=x或y=-x，
（3）結(jié)論：PC-PM≤BC-BM，
理由如下：
∵M(jìn)為二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為2，
∴M（2，1）

①當(dāng)點(diǎn)P于點(diǎn)B重合時(shí)，
有PC-PM=BC-BM，
②當(dāng)P異于B時(shí)，
∵直線BM經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）、M（2，1），
∴直線BM的解析式為y=-x+3，
∵直線BM與y軸相交于點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（0，3），
∴F（0，3）于C（0，-3）關(guān)于x軸對稱
聯(lián)結(jié)結(jié)PF，
∴BC=BF，PF=PC，
∴BC-BM=BF-BM=MF，PF-PM=PC-PM，
∵在△FPM中，有PF-PM＜FM，
∴PC-PM＜BC-BM，
綜上所述：PC-PM≤BC-BM．
分析：（1）根據(jù)已知條件先求出A和B點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入y=-x²+bx+c求出b和c的值即可；
（2）設(shè)直線l與⊙O相切于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，由已知數(shù)據(jù)求出E點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出直線l的解析式；
（3）PC-PM與BC-BM的大小關(guān)系是PC-PM≤BC-BM，此小題要分兩種情況討論分別是①當(dāng)點(diǎn)P于點(diǎn)B重合時(shí)，有PC-PM=BC-BM，②當(dāng)P異于B時(shí)，PC-PM＜BC-BM．
點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、直線解析式、直線和坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)、切線的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，題目的綜合性強(qiáng)，難度中等，特別是第三小題解答時(shí)注意分類討論的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用，防止漏解．