Question

（1）求證：81⁷-27⁹-9¹³能被45整除；
（2）證明：當(dāng)n為自然數(shù)時，2（2n+1）形式的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的平方差；
（3）計(jì)算：．

Answer 1

解：（1）∵81⁷-27⁹-9¹³=3²⁸-3²⁷-3²⁶=3²⁶（9-3-1）=45×3²⁴，
∴81⁷-27⁹-9¹³能被45整除；

（2）反證法：假設(shè)2（2n+1）能表示為兩個整數(shù)的平方差即2（2n+1）=a²-b²=（a+b）（a-b），
因?yàn)?（2n+1）是偶數(shù)，則a+b、a-b定有一個是偶數(shù)，
若a+b是偶數(shù)，則a、b具有相同的奇偶性，則a-b也是偶數(shù)；
同樣的，若a-b偶，則a+b也偶，
則（a+b）（a-b）能被4整除也就是說2（2n+1）能被4整除，
即 2n+1能被2整除，但這是顯然不成立的，
故原假設(shè)不成立，
∴當(dāng)n為自然數(shù)時，2（2n+1）的形式的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的平方差；

（3）∵===
∴原式==2×（）
=221．
分析：（1）首先將81⁷-27⁹-9¹³代數(shù)式轉(zhuǎn)化成底數(shù)為3的冪，提取公因式3²⁶，此時出現(xiàn)差5，再將3²⁶分解成3²⁴與9的乘積，問題得解；
（2）直接證明較難，因而采用反證法．假設(shè)2（2n+1）能表示為兩個整數(shù)的平方差2（2n+1）=a²-b²．再分別就a+b、a-b是偶數(shù)
討論，與其已知相反；
（3）觀察式子，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：均包含有的形式，因而對其進(jìn)行因式分解得．將此規(guī)律運(yùn)用到原式中，通過對分子、分母約分化簡，最后求出原式的值．
點(diǎn)評：本題考查因式分解的應(yīng)用．解決（1）的關(guān)鍵是將原式通過因式分解轉(zhuǎn)化為9×5×3ⁿ的形式；（2）的關(guān)鍵是采用反證法；（3）的關(guān)鍵得到=這一規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律代入原式約分化簡求值．