Question

8．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)M、N在直線BD上，點(diǎn)M在N點(diǎn)左側(cè)，AM∥CN．
（1）如圖1，求證：BM=DN；
（2）如圖2，當(dāng)∠ABC=90°，點(diǎn)M，N在線段BD上時(shí)，求證：BM+BN=$\sqrt{2}$AB；
（3）如圖3，當(dāng)∠ABC=60°，點(diǎn)M在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出BM，BN，AB三者的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)可知AB=CD，AB∥CD，然后由平行線的性質(zhì)和補(bǔ)角的性質(zhì)∠ABM=∠CDN，∠AMB=∠CND，接下來依據(jù)AAS證明△AMB≌△CND，由全等三角形的性質(zhì)可得到MB=DN；
（2）由（1）得BM=DN，故此可得到BN+BM=DB，當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD與AB的關(guān)系，從而得到BM+BN=$\sqrt{2}$AB；
（3）過點(diǎn)A作AE⊥MN，垂足為E．由BM=DN可證明BD=BN-BM，當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，∠ABE=30°在Rt△ABE中，依據(jù)勾股定理可求得BE與AB的關(guān)系，然后再依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到AB與BD的關(guān)系，于是得到BM，BN，AB三者的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABM=∠CDN．
∵AM∥CN，
∴∠AMN=∠MNC．
∴∠AMB=∠CND．
在△AMB和△CND中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠CDN}\\{∠AMB=∠CND}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△AMB≌△CND．
∴MB=DN．
（2）由（1）得BM=DN．
∴BN+BM=DB．
當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，由勾股定理得；BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$AB．
∴MB+BN=$\sqrt{2}$AB．
（3）NB-BM=$\sqrt{3}$AB．
如圖1所示：過點(diǎn)A作AE⊥MN，垂足為E．

由（1）得BM=DN．
又∵BD=BN-DN，
∴BD=BN-BM．
當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，∠ABE=30°，
又∵∠AEB=90°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB．
∴在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}-（\frac{AB}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB．
∵AB=AD，AE⊥BD，
∴BE=ED．
∴BD=$\sqrt{3}$AB．
∴BN-BM=$\sqrt{3}$AB．
由勾股定理得；BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$AB．
∴MB+BN=$\sqrt{2}$AB．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了菱形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，求得AB與BD的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．