Question

已知⊙O的直徑20，OP長(zhǎng)為8，則過(guò)P的弦中，弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦共有_____條．

1. A.
   1
2. B.
   9
3. C.
   17
4. D.
   16

Answer 1

D
分析：求出過(guò)P點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度的取值范圍，取特殊解，根據(jù)對(duì)稱性綜合求解．
解答：解：如圖，AB是直徑，OA=10，OP=8，過(guò)點(diǎn)P作CD⊥AB，交圓于點(diǎn)C，D兩點(diǎn)．
由垂徑定理知，點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，
∴PC=4，
在直角三角形OPC中，由勾股定理求得，PC=6，
∴CD=12，則CD是過(guò)點(diǎn)P最短的弦長(zhǎng)為12；AB是過(guò)P最長(zhǎng)的弦，長(zhǎng)為20．
故過(guò)點(diǎn)P的弦的長(zhǎng)度都在12～20之間；
因此弦長(zhǎng)為12，13，14，15，16，17，18，19，20；
當(dāng)弦長(zhǎng)為12、20時(shí)，過(guò)P點(diǎn)的弦分別為弦CD和過(guò)P點(diǎn)的直徑，分別有一條；
當(dāng)弦長(zhǎng)為13，14，15，16，17，18，19時(shí)，根據(jù)圓的對(duì)稱性知，符合條件的弦應(yīng)該有兩條；
故弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦共有16條．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的是垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用．需注意的是當(dāng)弦長(zhǎng)為13，14，15，16，17，18，19時(shí)，根據(jù)圓的對(duì)稱性可得出兩個(gè)符合條件的弦，不要漏解．