Question

觀察下列方程和等式，尋找規(guī)律，完成問題：
①方程x²-7x+6=0，x₁=1，x₂=6，而x²-7x+6=（x-1）（x-6）；
②方程x²-4x-5=0，x₁=5，x₂=-1，而x²-4x-5=（x-5）（x+1）；
③方程4x²-12x+9=0，x1=

3

2

，x2=

3

2

，而4x2-12x+9=4(x-

3

2

)(x-

3

2

)；
④方程3x²+7x+4=0，x1=-

4

3

，x₂=-1，而3x2+7x+4=3(x+

4

3

)(x+1)；…
（1）探究規(guī)律：當(dāng)方程ax²+bx+c=0（a≠0）時(shí)，

 

；
（2）解決問題：根據(jù)上述材料將下列多項(xiàng)式分解：x²-x-2；2x²+3x-2
（3）拓廣應(yīng)用：已知，如圖，現(xiàn)有1×1，a×a的正方形紙片和1×a的矩形紙片各若干塊，試選用這些紙片（每種紙片至少用一次）在下面的虛線方框中拼成一個(gè)矩形（每兩個(gè)紙片之間既不重疊，也無空隙，拼出的圖中必須保留拼圖的痕跡），使拼出的矩形面積為2a²+5a+2，并標(biāo)出此矩形的長和寬．

Answer 1

分析：（1）求出一元二次方程的根即可進(jìn)行因式分解；
（2）利用x²-x-2=0，根為x₁=2，x₂=-1，以及2x²+3x-2=0，得出x₁=-2，x₂=

1

2

，進(jìn)而因式分解即可；
（3）根據(jù)2a²+5a+2=0，得出x₁=-

1

2

，x₂=-2，即可得出此矩形的長和寬．

解答：解：（1）∵方程ax²+bx+c=0，
方程的根為：x=

-b± b2-4ac

2a

，
∴ax²+bx+c=（x-

-b+ b2+4ac

2a

）（x-

-b- b2-4ac

2a

）；

（2）∵x²-x-2=0，
x₁=2，x₂=-1，
∴x²-x-2；
=（x-2）（x+1）；
∵2x²+3x-2=0，
x₁=-2，x₂=

1

2

，
∴2x²+3x-2，
=（x+2）（2x-1）；

（3）2a²+5a+2=0，
x₁=-

1

2

，x₂=-2，
∴2a²+5a+2，
=（2a+1）（a+2），
∴此矩形的長和寬分別為：2a+1，a+2．

點(diǎn)評：此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)已知得出求出方程的根是解題關(guān)鍵．