Question

已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，連接BO交AD于點(diǎn)F，OE⊥OB交BC邊于點(diǎn)E．
（1）如圖1，求證△ABF∽△COE；
（2）如圖2，點(diǎn)O是AC邊的中點(diǎn)，AB=1，AC=2．①求證BF=OE；②求OE的長．

Answer 1

分析：（1）由垂直的性質(zhì)和等量代換，可得∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE，即可證得；
（2）①易得AB=OC，由（1）知△ABF∽△COE，即可證明BF=OE；②根據(jù)三角形的面積得AD=

2 5

5

，由勾股定理得BO、BD的長，設(shè)OE=BF=x，由又△BDF∽△BOE，可得出DF=

10

10

x，在直角△DFB中，根據(jù)勾股定理解答出即可．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠C，
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE，
∴△ABF∽△COE；

（2）①∵O是AC邊的中點(diǎn)，AC=2，
∴AO=OC=1，
∵AB=1，
∴AB=OC，
由（1）知△ABF∽△COE，
∴△ABF≌△COE，
∴BF=OE；
②在直角△ABC中，BC=

AB2+AC2

=

12+22

=

5

，
由S_△ABC=

1

2

AB×AC=

1

2

AD×BC得，2=

5

AD，
∴AD=

2 5

5

，
在直角△ABD中，BD=

AB2-AD2

=

12-( 2 5 5 )2

=

5

5

，
在直角△ABO中，BO=

AB2+AO2

=

12+12

=

2

，
∵∠BDF=∠BOE=90°，∠FBD=∠EBO，
∴△BDF∽△BOE，
∴

BD

BO

=

DF

OE

，
設(shè)OE=BF=x，
∴

5 5

2

=

DF

x

，
∴DF=

10

10

x，
在直角△DFB中，由BF²=BD²+FD²，
得，x²=

1

5

+

1

10

x²，
∴x=

2

3

，
∴OE的長為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線的性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)三角形的相似，列出關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．