Question

5．如圖，菱形ABCD中，0是AC中點，EF經(jīng)過點O，分別交AD，CB的延長線于點E，F(xiàn)．
（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）已知AB=a，∠DAB=α（0＜α＜90°）．
①試問四邊形AFCE是否可能為矩形？若可能，請用α表示∠AOE的度數(shù)；若沒可能，請說明理由；
②直接寫出當S_{四邊形ABCD}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$S_{四邊形AFCE}時DE的長（用含α的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）由△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，由此即可證明．
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OE，由∠AOE=180°-（∠OAE+∠OEA）即可解決問題．
（3）把條件S_{四邊形ABCD}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$S_{四邊形AFCE}，轉(zhuǎn)化為AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE，即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=OC}\\{∠AOE=∠FOC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，∵OA=OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．

（2）①四邊形AFCE能為矩形．
理由：如圖1中，當OA=OC=OE=OF時，四邊形AFCE是矩形．
此時∠OAE=∠OEA=$\frac{1}{2}$α，
∴∠AOE=180°-（∠OAE+∠OEA）=180°-α．

②如圖2中，連接BD．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC與BD交于點O，
∵四邊形AFCE是平行四邊形，
∴S_△AOF=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}，S_△AOD=$\frac{1}{4}$S_{四邊形AFCE}，
∵S_{四邊形ABCD}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$S_{四邊形AFCE}，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE，
∵AD=AB=a，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+DE），
∴DE=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$a．

點評 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．