【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑.PC是⊙O的切線,C為切點(diǎn),PD⊥AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E.
(1)求證:∠PCE=∠PEC;
(2)若AB=10,ED= , sinA= , 求PC的長.
【答案】解:(1)∵PC是圓O的切線,
∴∠PCA=∠B.
∵AB是圓O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∴∠A+∠B=90°.
∵PD⊥AB,
∴∠A+∠AED=90°.
∴∠AED=∠B.
∵∠PEC=∠AED,
∴∠PCE=∠PEC.
(2)如圖所示,過點(diǎn)P作PF⊥AC,垂足為F.
∵AB=10,sinA=,
∴BC=AB=6.
∴AC==8.
∵DE=,sinA=,
∴AE=.
∴EC=AC﹣AE=8﹣=.
∵PC=PE,PF⊥EC,
∴EF=.
∵∠AED=∠PEF,∠EDA=∠EFP,
∴△AED∽△PEF.
∴,.
解得:EP=.
∴PC=.
【解析】(1)由弦切角定理可知∠PCA=∠B,由直角所對(duì)的圓周角等于90°可知∠ACB=90°.由同角的余角相等可知∠AED=∠B,結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)可知∠PCE=∠PEC;
(2)過點(diǎn)P作PF⊥AC,垂足為F.由銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理可求得AC=8,AE= , 由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知EF= , 然后證明△AED∽△PEF,由相似三角形的性質(zhì)可求得PE的長,從而得到PC的長.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí),掌握切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交于點(diǎn)A(﹣ , 0),點(diǎn)B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,1),連接BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)N為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t(﹣),求△ABN的面積s與t的函數(shù)解析式;
(3)若0<t<2且t≠0時(shí),△OPN∽△COB,求點(diǎn)N的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形各個(gè)內(nèi)角的平分線圍成一個(gè)四邊形,則這個(gè)四邊形一定是( 。
A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四邊形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,A(﹣1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).
(1)求出△ABC的面積.
(2)在圖形中作出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1.寫出點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo).
(3)在圖形中作出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A2B2C2.寫出點(diǎn)A2,B2,C2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過⊙C上一點(diǎn)P作⊙C的切線l.當(dāng)入射光線照射在點(diǎn)P處時(shí),產(chǎn)生反射,且滿足:反射光線與切線l的夾角和入射光線與切線l的夾角相等,點(diǎn)P稱為反射點(diǎn).規(guī)定:光線不能“穿過”⊙C,即當(dāng)入射光線在⊙C外時(shí),只在圓外進(jìn)行反射;當(dāng)入射光線在⊙C內(nèi)時(shí),只在圓內(nèi)進(jìn)行反射.特別地,圓的切線不能作為入射光線和反射光線.
光線在⊙C外反射的示意圖如圖1所示,其中∠1=∠2.
(1)自⊙C內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的入射光線經(jīng)⊙C第一次反射后的示意圖如圖2所示,P1是第1個(gè)反射點(diǎn).請(qǐng)?jiān)趫D2中作出光線經(jīng)⊙C第二次反射后的反射光線;
(2)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí),如圖3,
①第一象限內(nèi)的一條入射光線平行于x軸,且自⊙O的外部照射在其上點(diǎn)P處,此光線經(jīng)⊙O反射后,反射光線與y軸平行,則反射光線與切線l的夾角為;
②自點(diǎn)A(﹣1,0)出發(fā)的入射光線,在⊙O內(nèi)不斷地反射.若第1個(gè)反射點(diǎn)P1在第二象限,且第12個(gè)反射點(diǎn)P12與點(diǎn)A重合,則第1個(gè)反射點(diǎn)P1的坐標(biāo)為
(3)如圖4,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2),⊙M的半徑為1.第一象限內(nèi)自點(diǎn)O出發(fā)的入射光線經(jīng)⊙M反射后,反射光線與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn),求反射點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人以相同路線前往距離單位10km的培訓(xùn)中心參加學(xué)習(xí).圖中l甲、l乙分別表示甲、乙兩人前往目的地所走的路程S(km)隨時(shí)間t(分)變化的函數(shù)圖象.以下說法:
①乙比甲提前12分鐘到達(dá); ②甲的平均速度為15千米/小時(shí);
③乙走了8km后遇到甲; ④乙出發(fā)6分鐘后追上甲.
其中正確的有_____________(填所有正確的序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料后解決問題:
計(jì)算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
經(jīng)過觀察,小明發(fā)現(xiàn)如果將原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏罂梢猿霈F(xiàn)特殊的結(jié)構(gòu),進(jìn)而可以應(yīng)用平方差公式解決問題,具體解法如下:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24﹣1)(24+1)(28+1)
=(28﹣1)(28+1)
=216﹣1
請(qǐng)你根據(jù)以上解決問題的方法,試著解決:
(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)…(364+1)=__
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. 若AP=BP,則點(diǎn)P是線段的中點(diǎn) B. 若點(diǎn)C在線段AB上,則AB=AC+BC
C. 若AC+BC>AB,則點(diǎn)C一定在線段AB外 D. 兩點(diǎn)之間,線段最短
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