Question

已知一次函數(shù)y=ax-a（a≠0）的圖象是直線l．
（1）求證：一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)P（1，0）；
（2）如果直線l與y軸的正半軸交于點(diǎn)E、O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
①設(shè)△OPE的面積為S，寫出S關(guān)于a的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
②在x軸上找出點(diǎn)Q，使S_△PQE=2S_△OPE，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）把x=1代入一次函數(shù)解析式得：y=a-a=0，
∴P（1，0）在一次函數(shù)圖象上，
即一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)P（1，0）；
（2）①∵直線l恒過(guò)P（1，0），且與y軸交于正半軸，
∴a＜0，
令y=ax-a中x=0，解得：y=-a，
∴OE=-a，又OP=1，且△OEP為直角三角形，
則S_△OPE=OE•OP=•（-a）•1=-（a＜0）；
②根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

當(dāng)Q在P的右邊時(shí)，如圖所示，
∵S_△PQ1E=2S_△OPE，且△PQ₁E與△OPE的高都為OE，
∴PQ₁=2OP，又OP=1，
∴PQ₁=2，
∴OQ₁=OP+PQ₁=1+2=3，
此時(shí)Q₁坐標(biāo)為（3，0）；
當(dāng)Q在P的左邊時(shí)，如圖所示，
∵S_△PQ2E=2S_△OPE，且△PQ₂E與△OPE的高都為OE，
∴PQ₂=2OP，又OP=1，
∴PQ₁=2，
∴OQ₂=PQ₂-OP=2-1=1，
此時(shí)Q₂的坐標(biāo)為（-1，0），
綜上，當(dāng)S_△PQE=2S_△OPE時(shí)，Q的坐標(biāo)為（3，0）或（-1，0）．
分析：（1）把P的橫坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y為0，可得出一次函數(shù)圖象一對(duì)經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，得證；
（2）①由直線l與y軸正半軸交于點(diǎn)E，可得出一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b中k小于0，即a小于0，令x=0，求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的y軸，即為OE的長(zhǎng)，又三角形OPE為直角三角形，根據(jù)兩直角邊OE及OP的長(zhǎng)，即可列出S與a的函數(shù)解析式，并得出此時(shí)自變量a的范圍為a小于0；
②由Q在x軸上，分兩種情況考慮：當(dāng)Q在P點(diǎn)右邊時(shí)，如圖所示，根據(jù)三角形PQE的面積為三角形OPE面積的2倍，且兩三角形的高都為OE，得到三角形PQE的底邊PQ為三角形OEP底邊OP的2倍，根據(jù)OP的長(zhǎng)求出PQ的長(zhǎng)，進(jìn)而得到OQ的長(zhǎng)，確定出此時(shí)Q的坐標(biāo)；當(dāng)Q在P的左邊時(shí)，同理得到PQ等于OP的2倍，由OP的長(zhǎng)求出OQ的長(zhǎng)，確定出此時(shí)Q的坐標(biāo)，綜上，得到所有滿足題意的Q的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)有：恒過(guò)定點(diǎn)的直線方程，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角形面積的求法，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，其中第二問(wèn)第2小題Q的坐標(biāo)有兩解，注意不要漏解．