Question

11．如圖，等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上的一點，當PA=CQ時，連接PQ交AC于點D，下列結(jié)論：
①PD=DQ；②DE=$\frac{1}{2}$AC；③AE=$\frac{1}{2}$CQ；④PQ⊥AB
其中正確的有①②③．（填序號）

Answer 1

分析 作輔助線PF∥BC，由已知條件可得△APF也是等邊三角形，從而可以推出△PFD≌△QCD，從而可得PD與DQ的關(guān)系，進而得到DE與AC的關(guān)系，AE與CQ的關(guān)系，由∠DEP=90°，∠EDP隨著點P的變化而變化可以判斷PQ與AB的關(guān)系．

解答 解：作PF∥BC交AC于點F，如下圖所示：

∵△ABC是等邊三角形，∠AFP=∠ACB=60°，
∴AP=PF，
∵PA=CQ，
∴FP=CQ，
∵PF∥BC，
∴∠FPD=∠CQD，
在△PFD和△QCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPD=∠CQD}\\{∠PDF=∠QDC}\\{FP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（AAS）
∴PD=QD，（故①正確）DF=DC，
∵△APF是等邊三角形，PF⊥AC，
∴AE=EF，
∵DE=DF+EF，AE=EF，DF=CD，AC=AE+EF+FD+DC，
∴DE=$\frac{1}{2}AC$，（故②正確）
∵△APF是等邊三角形，PF⊥AC，
∴AE=$\frac{1}{2}AP$，
∵AP=CQ，
∴AE=$\frac{1}{2}CQ$，（故③正確）
∵∠PDA的對邊隨著點P的變化而變化，而DE的值不變，∠PED=90°不變，∠A=60°不變，
∴∠PDA的正切值在變化，從而∠PDA在變化，
∴∠APD隨著點P的變化而變化，
故④不正確．
故答案為：①②③．

點評 本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵由已知條件可以得到各邊的關(guān)系，然后找出所求問題需要的條件．