Question

如圖，CB是半圓的直徑，AC與半圓相切于C點，AB與半圓相交于D點，在AC上任取一點E，連接BE交半圓于F點．求證：AB•BD=EB•BF．

Answer 1

證明：證法一：連接CD、CF；
∵BC是直徑，
∴∠CDB=90°，∠CFB=90°；
又∵AC與圓相切于C點，CB是圓的直徑，
∴∠ACB=90°；
在Rt△ABC中，BC²=BD•BA，在Rt△EBC中，BC²=BF•BE；
∴BD•BA=BF•BE，即AB•BD=EB•BF．

證法二：連接CD、DF；
∵∠CBE=∠CBF=∠CDF，
又∵AC切⊙O于C，CB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=∠BDC=90°；
∴∠AEB=90°+∠CBE=90°+∠CDF=∠BDF；
又∵∠DBF=∠EBA（同角）
∴△DBF∽△EBA，
∴BD：EB=BF：AB，
∴AB•BD=EB•BF．
分析：本題解法較多，提供兩種作為參考；
（1）連接CD、CF；由圓周角定理，易知CF⊥BE，CD⊥AB；在Rt△CBE、Rt△CBA中，由射影定理可知：AB•BD及BE•BF正好都等于BC²，由此得解．
（2）將所求的乘積式化為比例式，然后證線段所在的三角形相似，即連接DF、CD，證△BDF∽△BEA．
點評：此題主要考查的是圓周角定理、切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)．