Question

已知關(guān)于y的方程y²-2ay-2a-4=0．
（1）證明：不論a取何值，這個方程總有兩個不相等的 實(shí)數(shù)根；
（2）a為何值時，方程的兩根之差的平方等于16？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)方程，求出△的值，判斷出△是否＞0即可；
（2）設(shè)兩根為：y₁，y₂，根據(jù)題意得：（y₁-y₂）²=16，然后進(jìn)行變形可得（y₁+y₂）²-4y₁y₂=16，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于a的一元二次方程，解方程可得答案．
解答：解：（1）證明：△=（-2a）²-4×1×（-2a-4），
=4a²+8a+16，
=4（a²+2a+1）+12，
=4（a+1）²+12，
∵（a+1）²≥0，
∴△＞0，
∴方程總有兩個不相等的 實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)兩根為：y₁，y₂，
（y₁-y₂）²=16，
y₁²-2y₁y₂+y₂²=16，
（y₁+y₂）²-4y₁y₂=16，
（2a）²-4（-2a-4）=16，
4a²+8a=0，
a₁=0，a₂=-2，
∴a為0或-2時，方程的兩根之差的平方等于16．
點(diǎn)評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，根據(jù)把握準(zhǔn)①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．