Question

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該積極地參加到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去，努力地成為學(xué)習(xí)的主人．如圖，請你探究：隨著D點位置的變化，∠BDC與∠A的大小關(guān)系．（①、②問用“＞”表示其關(guān)系，③、④、⑤問用“=”表示其關(guān)系）

（1）如圖①，點D在AC上（不同于A、C兩點），∠BDC與∠A的關(guān)系是

∠BDC＞∠A

；
如圖②，點D在△ABC內(nèi)部，∠BDC與∠A的關(guān)系是

∠BDC＞∠A

；
如圖③，點D是∠ABC，∠ACB平分線的交點，此時∠BDC與∠A的關(guān)系是

∠BDC=90°-

1

2

∠A

；
如圖④，點D是∠ABC的平分線和∠ACB外角平分線的交點，∠BDC與∠A的關(guān)系是

∠D=

1

2

∠A

；
如圖⑤，點D是∠ABC與∠ACB兩外角平分線的交點，∠BDC與∠A的關(guān)系是

∠BDC=90°-

1

2

∠A

．
（2）證明圖④的結(jié)論；
（3）證明圖⑤的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）①②根據(jù)三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角解答；
③先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理用∠A表示出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠DBC+∠DCB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
④根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義兩次表示出∠1，然后列式整理即可得解；
⑤根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式以及角平分線的定義表示出∠1、∠2，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）①∠BDC＞∠A；

②∠BDC＞∠A；

③在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵點D是∠ABC，∠ACB平分線的交點，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=90°-

1

2

∠A，
在△BDC中，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A，
即，∠BDC=90°+

1

2

∠A；

④∵CD是△ABC的外角平分線，
∴∠1=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，
∠1=∠D+∠DBC，
∴

1

2

∠A+

1

2

∠ABC=∠D+∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，
∠D=

1

2

∠A；

⑤∵點D是∠ABC與∠ACB兩外角平分線的交點，
∴∠1=

1

2

（∠A+∠ACB），∠2=

1

2

（∠A+∠ABC），
∴∠1+∠2=

1

2

（∠A+∠ACB）+

1

2

（∠A+∠ABC）=∠A+

1

2

（∠ACB+∠ABC），
在△ABC中，∠ACB+∠ABC=180°-∠A，
∴∠1+∠2=∠A+

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
在△BCD中，∠BDC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°+

1

2

∠A）=90°-

1

2

∠A，
即∠BDC=90°-

1

2

∠A．
故答案為：①∠BDC＞∠A；②∠BDC＞∠A；③∠BDC=90°-

1

2

∠A；④∠D=

1

2

∠A；⑤∠BDC=90°-

1

2

∠A．

點評：本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．