Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如圖（1），當AB∥CB′時，設(shè)A′B′與CB相交于點D．證明：△A′CD是等邊三角形； 
（2）如圖2，當θ=45°時，設(shè)A′C與AB交于點P，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證得：∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，即可證得△A′CD是等邊三角形．
（2）過P作PQ⊥BC于點Q，在直角△CPQ中，利用三角函數(shù)即可求解．
解答：（1）證明：∵AB∥CB′，
∴∠B=∠BC B′=30°，
∴∠A′CD=60°，
又∵∠A′=60°，
∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，
∴△A′CD是等邊三角形；

（2）解：過P作PQ⊥BC于點Q，因為θ=45°，
所以∠PCQ=45°．所以．因為∠B=30°，
所以BP=2PQ．
所以
點評：本題考查了等邊三角形的判定以及三角函數(shù)，正確作出輔助線，把角的大小轉(zhuǎn)化成邊之間的比值是關(guān)鍵．