【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)求證:EO=FO;
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.
(3)在(2)的條件下,當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí),四邊形AECF是正方形?
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.(3)當(dāng)點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),△ABC中∠ACB=90°時(shí),四邊形AECF是正方形.
【解析】試題解析:(1)根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)及,由平行線所夾的內(nèi)錯(cuò)角相等易證;
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形,根據(jù)矩形的判定方法,即一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可證.
(3))由OE=OF,OA=OC可判斷四邊形AECF為平行四邊形,再證明∠ECF=90°,則可判斷四邊形AECF為矩形,根據(jù)正方形的判定方法,當(dāng)∠2=45°時(shí),四邊形AECF為正方形,于是可得∠ACB=90°.
試題解析:(1)證明:∵CE平分∠ACB,
∴∠1=∠2,
又∵M(jìn)N∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,
∴EO=CO,
同理,F(xiàn)O=CO,
∴EO=FO;
(2)解:當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.
理由如下:
∵EO=FO,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn).
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵CF平分∠BCA的外角,
∴∠4=∠5,
又∵∠1=∠2,
∴∠2+∠4=×180°=90°.
即∠ECF=90度,
∴四邊形AECF是矩形.
(3)∵OE=OF,OA=OC,
∴四邊形AECF為平行四邊形,
∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACB的外角,
∴∠ECF=90°,
∴四邊形AECF為矩形,
當(dāng)∠2=45°時(shí),四邊形AECF為正方形,
此時(shí)∠ACB=90°,
即當(dāng)點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),△ABC中∠ACB=90°時(shí),四邊形AECF是正方形.
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