Question

如圖1，連接△ABC的各邊中點得到一個新的△A₁B₁C₁，又連接△A₁B₁C₁的各邊中點得到△A₂B₂C₂，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形：△ABC，△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂，…。已知A（0，0），B（3，0），C（2，2）。

（1）求這一系列三角形趨向于一個點M的坐標；
（2）如圖2，分別求出經(jīng)過A，B，C三點的拋物線解析式和經(jīng)過A₁，B₁，C₁三點的拋物線解析式；
（3）設兩拋物線的交點分別為E、F，連接EF、EC₁、FC₁、EC₂、FC₂、C₁C₂，問：C₂與△EC₁F的關(guān)系是什么？（4）如圖3，問：A，A₂，C，C₂四點可不可能在同一條拋物線上，試說明理由。

Answer 1

解：（1）由題意可知：M點的坐標為
即M。
（2）設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x-0）（x-3），
則有：2=a×（2-0）×（2-3），解得a=-1，因
此過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=-x²+3x，
可求得A₁、B₁、C₁的坐標分別為
設過這三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，則有：
，解得
即A₁，B₁，C₁三點的拋物線解析式為y=2x²-7x+6；
（3）根據(jù)題意有：2x²-7x+6=-x²+3x
即3x²-10x+6=0
解得x=
由于E在F點左側(cè)
因此
由題意可知C₂的坐標為
然后將C₂的坐標代入△EFC₁三邊所在的直線中，可得出C₂在△EFC₁外。
（4）A，A₂，C，C₂四點的坐標分別為：
設過A、A₂、C三點的拋物線的解析式為
則有
因此拋物線的解析式為：
將C₂點的坐標代入①中可得：
因此：A，A₂，C，C₂四點不可能在同一條拋物線上。